定義與性質
柯西方程是函式方程
f(x+y)=f(x)+f(y)
此方程的解稱為加性函式，在有理數定義域上，利用初等代數我們很容易得出有一組函式滿足條件，是f(x)=cx,其中c是任意實數。定義域是實數時，同樣有一族函式滿足條件，但有些是極其複雜的，所以我們需要更多的條件得到f(x)=cx，以下條件可得f(x)是正比例函式：
◎f是連續函式（在1821年已被柯西證明），後來在1875年被達布將條件減弱為f在某點連續 。
◎存在a,b∈ R,(a<b),函式在(a,b)有界
◎f單調，或f在某開區間單調。
◎存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0,或者存在ε2>0,使得x∈[0,ε2],有f(x)≤0
另外，如果沒有其他條件的話，（假如承認選擇公理成立），那么有無窮非f(x)=cx的函式滿足該條件,這是1905年哈默(Georg Hamel)利用哈默基的概念證明的。
希爾伯特第五問題是該方程的推廣
存在實數c使得f(cx)≠cf(x)解稱為柯西-哈默方程(Cauchy-Hamel function),希爾伯特第三問題中，從3-D向高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變數（Dehn-Hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。
在有理數中的證明
y=0,那么有f(x+0)=f(x)+f(0),即f(0)=0
y=-x,那么由f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)=-f(-x)
利用數學歸納法,可知f(nx)=nf(x)
將x用x/n代替，那么有
f(nx/n)=nf(x/n)=f(x)
任意有理數m/n,有
f((m/n)x)=mf(x)/n
以上合起來，就是任意q∈ Q，α≠0有
f(αq)=qf(α),取α=1,可得f(q)=qf(1),得證。
在實數域上證明
函式連續
由於函式連續，且有理數稠密，不難說明f(x)=xf(1)在x為任意實數上成立（利用有理數逼近）。
函式在區間有界
定義函式g(x)=f(x)-f(1)x,顯然g是實值函式。
由於g(x+y)=f(x+y)-f(1)(x+y)=(f(x)-f(1)x)+(f(y)-f(1)y)=g(x)+g(y)
所以g(x)也是滿足柯西函式方程的函式
因此任意q∈ Q,我們有g(qx)=qg(x)
由於f在(a,b)上有界，那么設界為M，即任意x∈(a,b),有|f(x)|≤M
那么由於|x|≤max(|a|,|b|),有任意x∈(a,b),
|g(x)|=|f(x)-f(1)x|≤|f(x)|+|f(1)||x|≤M+max(|a|,|b|),即g在(a,b)有界
由於任意x不在(a,b),有有理數q，使得x-q∈(a,b),
即|g(x)|=|g(x-q)+g(q)|=|g(x-q)|同樣有界,即g(x)在 R上有界
而若有x∈ R,使得g(x)不為0，那么必存在n，使得|g(nx)|=n|g(x)|趨向無窮大，矛盾。
因此g(x)=0恆成立，即f(x)=f(1)x
函式在某點連續
根據連續的定義可知，任意δ,存在ε，使得x∈(x0-δ,x0+δ),|f(x)-f(x0)|<ε,即f(x)在區間有界，化為上面的條件。
函式單調
在某區間(a,b)單調，那么任意x∈(a,b),
f(q1)<f(x)<f(q2),
其中q1<x,q2>x,將q1,q2逼近x，不難說明f(x)=xf(1)
而任意x∈ R,存在q，使得x=qr,r∈(a,b),q∈ Q,
同理可知成立。
函式保號
保號是指：存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0,或者存在ε2>0,使得x∈[0,ε2],有f(x)≤0。
根據對稱性我們只需證明"存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0"的情況。
任意y>x,存在n,使得e=(y-x)/n∈[0,ε1],那么利用
f(y)-f(x)=f(y)-f(y-e)+f(y-e)-f(y-2e)+...+f(x+e)-f(x)=nf(e)>0,即可得f(x)單調，化為上麵條件。
其他解的性質
以下的證明將顯示“其他的解”(若存在)是相當病態(pathological)的函式。我們將證明這個函式 f所對應的圖y=f(x)在 R^2中稠密，亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點，我們將從這個定義著手證明。
詳情見右圖
其他解不連續解存在性
要構造出反例，必須承認 選擇公理或 Zorn引理，從而當我們把 看成是 上的線性空間時，它允許我們選出無窮多個元素作為基底，使得每個實數都能寫成 以有理數為係數 的有限個基底的線性組合，稱為哈默基(Hamel Basis)。
不連續解構造詳情見右圖
