朗道規範:朗道規範，即朗道量子化（Landau quantization -百科知識中文網

推導

朗道量子化可以通過準經典的方法部分導出。這裡採用量子力學的方法進行推導：

考慮一個帶電粒子組成的二維系統。這些粒子無內部相互作用，所帶電荷為q，自旋量子數為S，並被限制在x-y平面內一個面積A=LL的區域內。

對這一系統施加一個沿z軸的均勻磁場。由於自旋對於這個二維系統沒有影響，因而在下面的推導中將忽略自旋。在CGS單位制下，這個系統的哈密頓算符為：

式中為正則動量算符，為磁場的磁矢勢，與磁感應強度的關係為：

給定磁場的磁矢勢具有一定的規範自由度。當被添加一個標量場的梯度時，波函式的整體相位也會隨著標量場產生一定的變化，但由於哈密頓算符具有規範不變性，系統的物理性質並不受選定的規範影響。為了簡便計算，這裡選擇朗道規範：

式中B=| B|， x為位置算符x方向上的分量。

在這一規範下，系統的哈密頓算符為：

算符與這一哈密頓算符是對易的。這是因為在選定規範時，算符被忽略掉了，因而算符可被它的本徵值 ħk替代。

如果設定迴旋頻率ω= qB/mc，那么可以得出此時哈密頓算符為：

這與量子諧振子的哈密頓算符基本一致，但勢能的最小值需要在位置表象中移動 x= ħk/mω。

為了得出能量，我們假設對於諧振子勢能的平移並不會影響到系統的能量，也就是說這一系統的能量與標準的量子諧振子一致：

由於能量與量子數 k無關，因而會存在一定的簡併態。

由於與哈密頓算符是對易的，因而系統的波函式可以表示為y方向上動量的本徵值與諧振子本徵矢的乘積，但也需要在x方向上移動x，即：

總之，電子的狀態可以通過n與 k這兩個量子數表征。

朗道能級

朗道量子化所造成的效應只能在平均內能小於能級間差值，即 kT ≪ ħω時才能被觀測到。簡單來說就是溫度較低，外磁場較強。

每個朗道能級都具有一定的簡併度，因為量子數 k的取值情況為：

式中N為整數。N所允許的取值受到振子的運動中心坐標 x的影響。振子的運動必須在系統範圍內，也就是說0 ≤ x< L。這給出了N的取值範圍：

對於帶電量 q= Ze的粒子來說，N的上限可以表記為磁通量的比值：

式中 Φ= h/2e為磁通量的基本量子， Φ = BA是系統的磁通量，面積 A= LL。

因而對於自旋為S的粒子，每個朗道能級的簡併度的最大值D為：

上述討論只是在有限尺度內給出的粗略的結果，嚴格來說，諧振子解只對在x方向上不受限的系統有效，如果系統尺度 L是有限的，那個方向上的束縛態條件會導致磁場中的非標準量子化情況。原則上，兩個都是埃爾米特方程的解。多電子對於朗道能級的填充仍是研究熱點之一。

一般來說，朗道能級可以在電子系統中被觀察到，其中Z=1，S=1/2。隨著磁場增強，越來越多的電子會占據朗道能級。最高的朗道能級的占據情況會導致多種電子性質振盪，如德哈斯-范阿爾芬效應及舒布尼科夫-德哈斯效應。

如果考慮到塞曼效應的話，那么每個朗道能級都會分裂為一對能級：一個為自旋向上的電子占據的能級，一個是自旋向下的電子占據的能級。此時每個自旋朗道能級的簡併度就會是磁通量的比率：D= Φ/Φ。兩個能級與分裂前的能級間隔是相同的：2 μB= ħω。然而在多個能級被占滿時，系統的費米能與基態的能量卻是大致相同的，因為塞曼效應造成的影響，在這些能級相加時會被抵消掉。

討論

在上面的推導過程中，x與y似乎並不對稱。然而，考慮到系統的對稱性，並沒有物理量能表征這兩個坐標的區別。在對x與y進行適當的內部變換後，可以得到相同的結果。

此外，上述推導中電子在z方向上運動受限的情形儘管在實驗中確實存在，如二維電子氣。但這一假設並不基本。如果電子在z方向上可以自由移動，那么波函式還需要乘以一個因子exp( ikz)，能量對應地需要加上( ħ k)/( 2m)。這一項會“填入”能級間隙，從而減小量子化的效果。但在垂直於磁場的平面x-y上的運動仍是量子化的。