概念
規範場論(GaugeTheory)是基於對稱變換可以局部也可以全局地施行這一思想的一類物理理論。非交換對稱群的規範場論有時也稱為楊-米爾斯理論。物理系統往往用在某種變換下不變的拉格朗日量表述，當變換在每一時空點同時施行，它們有全局對稱性。規範場論推廣了這一思想，它要求拉格朗日量必須也有局部對稱性—應該可以在時空的特定區域施行這些對稱變換而不影響到另外一個區域。這個要求是廣義相對論的等價原理的一個推廣。
規範“對稱性”反映了系統表述的一個冗餘性。
重要性
在物理學上的重要性
規範場論在物理學上的重要性，在於其成功為量子電動力學、弱相互作用和強相互作用提供了一個統一的數學形式化架構——標準模型。這套理論精確地表述了自然界的三種基本力的實驗預測，它是一個規範群為SU(3)×SU(2)×U(1)的規範場論。像弦論這樣的現代理論，以及廣義相對論的一些表述，都是某種意義上的規範場論。
簡史
最早包含規範對稱性的物理理論是麥克斯韋的電動力學。但是，該對稱性的重要性在早期的表述中沒有被注意到。在愛因斯坦發展廣義相對論之後，赫爾曼·魏爾在試圖統一廣義相對論和電磁學的嘗試中，猜想Eichinvarianz或者說尺度（“規範”）變換下的不變性可能也是廣義相對論的局部對稱性。後來發現該猜想將導致某些非物理的結果。但是在量子力學發展以後，魏爾、VladimirFock和FritzLondon實現了該思想，但作了一些修改（把縮放因子用一個複數代替，並把尺度變化變成了相變—一個U(1)規範對稱性），這對一個相應於帶電荷的量子粒子其波函式受到電磁場的影響，給定了一個漂亮的解釋。這是第一個規範場論。泡利在1940年推動了該理論的傳播，參看R.M.P.13,203。
1950年代，為了解決一些基本粒子物理中的巨大混亂，楊振寧和羅伯特·米爾斯引入非交換規範場論作為理解將核子綁在原子核中的強相互作用的模型。（RonaldShaw，和AbdusSalam一起工作，在他的博士論文中獨立地引入了相同的概念。）通過推廣電磁學中的規範不變性，他們試圖構造基於（非交換的）SU(2)對稱群在同位鏇質子和中子對上的作用的理論，類似於U(1)群在量子電動力學的鏇量場上的作用。在粒子物理中，重點是使用量子化規範場論。
該思想後來被發現能夠用於弱相互作用的量子場論，以及它和電磁學的統一在電弱理論中。當人們意識到非交換規範場論能夠導出一個稱為漸進自由的特色的時候，規範場論變得更有吸引力，因為漸進自由被認為是強相互作用的一個重要特點—因而推動了尋找強相互作用的規範場論的研究。這個理論稱為量子色動力學，是一個SU(3)群作用在夸克的色荷上的規範場論。標準模型用規範場論的語言統一了電磁力、弱相互作用和強相互作用的表述。
1970年代MichaelAtiyah爵士提出了研究經典楊-米爾斯方程的數學解的計畫。1983年，Atiyah的學生SimonDonaldson在這個工作之上證明了光滑4-流形的可微分類和它們只差一個同胚的分類非常不同。MichaelFreedman採用Donaldson的工作證明偽R4的存在，也就是，歐氏4維空間上的奇異微分結構。這導致對於規範場論本身的興趣，獨立於它在基礎物理中的成功。1994年，愛德華·威滕和NathanSeiberg發明了基於超對稱的規範場技術，使得特定拓撲不變數的計算成為可能。這些從規範場論來的對數學的貢獻導致了對該領域的新興趣。
例子
電路中接地的定義是規範對稱性的一個例子；當線路所有點的電壓升高相同的電壓時，電路的行為完全不變；因為電路中的電壓差不變。該事實的一個常見釋例是棲息在高壓電線上的鳥不會遭電擊，因為鳥對地絕緣。
這稱為整體規範對稱性Trefil,1983。電壓的絕對值不是真實的；真正影響電路的是電路組件兩端的電壓差。接地點的定義是任意的，但一旦該點確定了，則該定義必須全局的採用。
相反，如果某個對稱性可以從一點到另一點任意的定義，它是一個局部規範對稱性。
^JamesS.Trefil1983年，創造的瞬間。Scribner,ISBN92-93頁。
經典規範場論
本節要求一些經典或量子場論的知識，以及拉格朗日量的使用。
本節中的定義：規範群，規範場，相互作用拉格朗日量，規範玻色子
一個例子：標量O(n)規範場論
下面解釋了局部規範不變性可以從整體對稱性質啟發式地“導出”，並且解釋了它如何導向原來不相互作用的場之間的相互作用。
考慮一個n個不相互作用的標量場的集合，它們有相同的質量m。該系統用一個作用量表示，它是每個標量場φi的作用量之和
很明顯地，拉格朗日量在下面的變換中不變
只要G是一個常數矩陣，G屬於n-乘-n正交群O(n)。這是這個特定的拉格朗日量的全局對稱性，而對稱群經常稱為規範群。很巧合的是，諾特定理蘊含著該變換群作用下的不變數導致如下的流的守恆
其中Ta矩陣是SO(n)群的生成元。每個生成元有一個守恆流。
要求這個拉格朗日量必須有局部O(n)-不變性要求G矩陣（原來是常數）必須允許成為時空坐標x的函式。
不幸的是，G矩陣無法“傳遞”給導數。當G=G(x)，
這意味著定義一個有如下屬性的“導數”D
可以驗證這樣一個“導數”（稱為協變導數）是
其中規範場A(x)定義為有如下變換律的場
而g為耦合常數-定義一個相互作用強度的量。
規範場在一點的取值是李代數的一個元素，因此可以展開為
所以相互獨立的測度場取值和李代數的生成元一樣多。
最後，我們有了一個局部規範不變拉格朗日量
泡利把套用到象Φ這樣的場上的變換稱為第一類規範變換，而把A中的補償變換稱為第二類規範變換。
費曼的標量玻色子通過規範玻色子相互作用的這個拉格朗日量和初始的全局規範不變的拉格朗日量的區別可以視為相互作用拉格朗日量
這個項作為要求局部規範不變性的結果而引入了n個標量場之間的相互作用。在這個經典場論的量子化版本中，規範場A(x)的量子稱為規範玻色子。相互作用拉格朗日量在量子場論中的解釋是標量玻色子通過交換這些規範玻色子來相互作用。
規範場的拉格朗日量
我們關於經典規範理論的圖像基本完成了，還剩協變導數D的定義，為此我們必須知道規範場A(x)在所有時空點的值。它可以通過一個場方程的解給出，而不是手工的設定這個場的值。進一步要求產生這個場方程的拉格朗日量也是局部規範不變的，規範場拉格朗日量的最一般的形式可以（傳統地）寫作
其中
而跡在場的矢量空間上取。
注意在這個拉格朗日量中，沒有一個場Φ其變換抵消A的變換。該項在規範變換中的不變性是前面經典（或者說幾何，如果喜歡的話）對稱性的特殊情況。該對稱性必須被限制以施行量子化，這個過程被稱為規範固定，但是即使在限制之後，規範變換還是可能的（參看Sakurai，高等量子力學，1-4節）。
O(n)規範場論的拉格朗日量成了
一個簡單的例子：電動力學
作為前面章節中發展的形式化表述的簡單套用，考慮電動力學的情形，只考慮電子場。產生電子場的狄拉克方程的最簡單的作用（傳統上）是
該系統的全局對稱性是
這裡的規範群是U(1)，也就是場的相位角，帶一個常數θ。
“局部”化這個對稱性意味著用θ(x)取代θ。
一個合適的共變導數是
將“荷”e視為通常的電荷（這也是規範理論中這個術語的使用的來源），而把規範場A(x)視為電磁場的4維矢量勢得到一個相互作用拉格朗日量
其中J(x)是通常的電流密度的4矢量。規範原理因而可以視作以一種自然的方式引入了所謂的電磁場到電子場的最小耦合。
為規範場A(x)加入一個拉格朗日量，用場強張量的術語就象在電動力學中一樣，可以得到在量子電動力學中作為起點的拉格朗日量。
數學形式化
規範理論通常用微分幾何的語言討論。數學上，一個規範就是某個流形的（局部）坐標系的一個選擇。一個規範變換也就是一個坐標變換。
注意，雖然規範理論被聯絡的研究占據了大部分（主要是因為它主要在高能物理中研究），聯絡的思想一般不是規範理論的基本或者中心概念。事實上，一般規範理論的一個結果表明規範變換的仿射表示（也就是仿射模）可以分類到一種滿足特定屬性的Jet叢的截面。有些表示在每一點共變（物理學家稱其為第一類規範變換），有些表示象聯絡形式一樣變換（物理學家稱其為第二類規範變換）（注意折實一種仿射表示），還有其它更一般的表示，例如BF理論中的B場。當然，我們可以考慮更一般的表示（實現），但那很複雜。但是，非線性σ模型非線性地變換，所以它們也有用處。
若我們有一個主叢P其基空間是空間或時空而結構群是一個李群，則P的截面組成一個群稱為規範變換群。
我們可以在該主叢上定義一個聯絡（規範聯絡），這可以在每個相伴矢量叢上產生一個共變導數∇。若我們選擇一個局部標架（截面的局部基），我們就可以用聯絡形式A表示這個共變導數，A是一個李代數-值的1-形式，在物理學中稱為規範勢，它顯然不是內在的量，而是一個依賴於標架的選擇的量。從這個聯絡形式，我們可以構造曲率形式F，這是一個李代數-值的2-形式，這是一個內在量，定義為
其中d代表外微分而代表楔積。
無窮小規範變換形成一個李代數，可以表述為一個光滑李代數值的標量，ε。在這樣一個無窮小規範變換下，
其中是李括弧。
一個有趣的結果是，若，則其中D是共變導數
而且，，這意味著F共變地變換。
需要注意的一點是不是所有的一般規範變換都可以用無窮小規範變換生成；例如，當基流形是一個無邊界的緊緻流形使得從該流形到李群的映射的同倫類非平凡的時候。參看瞬子（instanton）中的例子。
楊-米爾斯作用可以如下給出
其中*代表霍奇對偶而積分和在微分幾何中的定義一樣。
一個規範-不變數也就是在規範變換下的不變數的例子是威爾遜環（Wilsonloop），它定義在閉合路徑γ上，定義如下：
其中χ是復表示ρ的特徵標；而表示路徑排序運算元。
規範理論
規範理論的量子化
套用
規範理論可以用能夠套用到任何量子場論的方法的特殊化來量子化。但是，因為規範約束（參看上面的數學表述一節）所帶來的微妙性，存在很多需要解決的理論問題，他們在其他場論中並不存在。同時，規範理論的更豐富的結構使得一些計算得以簡化：例如Ward恆等式建立了不同的重正化常數的聯繫。
方法和目標
第一個量子化的規範理論是量子電動力學（QED）。為此發展的最初的方法涉及規範固定和施行標準量子化。Gupta-Bleuler方法也被發展出來用於處理這個問題。非交換規範理論用很多不同的方法處理。量子化的方法在量子化條目有介紹。
量子化的要點
量子化的要點在於能夠計算對於理論所允許的各種進程的量子振幅。技術上，它們退化為在真空狀態下的特定相關係數函式的計算。這涉及到理論的一個重正化。
當理論的巡行耦合足夠小時，所有需要計算的量可以用微擾理論計算。設計用於簡化這樣的計算的量子化方案（例如標準量子化）可以稱為微擾量子化方案。一些這種方法導向了規範理論的更精確的試驗測試。
但是，在多數規範理論中，有很多有趣的問題是非微擾的。設計用於這些問題的量子化方案可以稱為非微擾量子化方案。這樣的方案的精確計算經常需要超級計算，因而比其他方案的發展要少。
反常
一些理論經典的對稱性在量子理論中不再成立—這個現象稱為一個反常。最出名的包括：
共形反常，它導致了一個跑動耦合常數。在QED中，這導致了朗道奇點（Landaupole）。在量子色動力學（QCD）中，這導致漸進自由。
手征反常，出現在費米子手性或者矢量場論中。這通過瞬子的概念和拓撲有緊密的關聯。
在QCD中，這個反常導致了π介子衰變成為兩個質子。
規範反常，在任何自洽的物理理論中必須消去。在電弱理論中，這個消去要求夸克和輕子數量相等。這被稱為GIM機制。
