前提
由於有效估計的基礎上的一種估計方法,所以在介紹有效估計之前,最小方差無偏估計的概念知識需要向大家提前介紹。
無偏估計是用樣本統計量來估計總體參數時的一種無偏推斷。估計量的數學期望等於被估計參數的真實值,則稱此此估計量為被估計參數的無偏估計,即具有無偏性,是一種用於評價估計量優良性的準則。無偏估計的意義是:在多次重複下,它們的平均數接近所估計的參數真值。無偏估計常被套用於測驗分數統計中 。
而具有最小方差的無偏估計的判別方法如下:
![有效估計值](/img/9/68b/wZwpmL4QDO0gTN5ADN0MTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwQzL2czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![有效估計值](/img/4/055/wZwpmL3gzNzYTO1cjN1IDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL3YzL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![有效估計值](/img/8/3b3/wZwpmL1gTN5IDOyUTN0MTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1UzL3AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![有效估計值](/img/e/69c/wZwpmL0YTN2IzN3gjN0MTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4YzLyYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![有效估計值](/img/9/0b2/wZwpmLygzN2UjNzYDN0MTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2QzL3QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
設 是 的一個無偏估計, 若對任何滿足條件: 的統計量 ,有
![有效估計值](/img/8/578/wZwpmLwcDM4gTN0MzN0MTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzczL0EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![有效估計值](/img/9/68b/wZwpmL4QDO0gTN5ADN0MTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwQzL2czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![有效估計值](/img/4/055/wZwpmL3gzNzYTO1cjN1IDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL3YzL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
則無偏估計 是 的最小方差無偏估計。
定義
由樣本值求得的估計值,方差越小,估計值接近待估參數的機率越大,種特性稱為估計的有效性 。
![有效估計值](/img/9/68b/wZwpmL4QDO0gTN5ADN0MTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwQzL2czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![有效估計值](/img/4/055/wZwpmL3gzNzYTO1cjN1IDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL3YzL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
設 是 的一個無偏估計,若
![有效估計值](/img/b/0f7/wZwpmL3EDN5cTM3ITN0MTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyUzL1EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![有效估計值](/img/9/68b/wZwpmL4QDO0gTN5ADN0MTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwQzL2czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![有效估計值](/img/4/055/wZwpmL3gzNzYTO1cjN1IDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL3YzL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
則 是 的有效估計。
因為多次測定的平均值比單次測定值具有更好的精密度,因此,用平均值要比單次測定值xi作為總體均值μ的估計值更有效。在常態分配中,不知總體分布時,均值仍然可以作為分布的無偏估計值,但不是有效的。有結果(Gauss-Markov Theorem)指向這個結論,均值比總體均值μ的其他線性無偏估計值擁有更小的方差。
性質
![有效估計值](/img/9/68b/wZwpmL4QDO0gTN5ADN0MTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwQzL2czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![有效估計值](/img/4/055/wZwpmL3gzNzYTO1cjN1IDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL3YzL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
(1)設是的任一無偏估計,稱
![有效估計值](/img/8/24f/wZwpmL2EDO1cDN5UTN0MTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1UzLxYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![有效估計值](/img/4/64d/wZwpmLwETMzUTM1IzN0MTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyczL3EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
為估計量的效率,且顯然。
![有效估計值](/img/f/6e0/wZwpmLyQDO4IzMwgjN0MTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4YzLxEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![有效估計值](/img/9/68b/wZwpmL4QDO0gTN5ADN0MTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwQzL2czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
(2)如果無偏估計量的效率滿足則稱為漸進有效估計。
![有效估計值](/img/9/68b/wZwpmL4QDO0gTN5ADN0MTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwQzL2czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
(3)如果為有效估計,則它也是最小方差無偏估計,但反之卻不成立。