方嚮導數
導數
定義 設函式 在點 的某領域內有定義,若極限
存在,則稱函式 在點 處可導,並稱該極限為函式 在點 處的導數,記作 。
定義
設三元函式 在點 的某領域 在 中有定義, 為從點 出發的射線, 為 上且含於 內的任一點,以ρ表示 與 兩點間的距離。若極限
存在,則稱此極限為函式 在點 沿方向 的方嚮導數 ,記作
或
方嚮導數與偏導數、全微分的關係
定理1 多元函式 在點 的某個領域 在 中有定義,且在點 處可微,則在該點處 任意方向上的方嚮導數都存在,但反之不成立 。
證:設向量 為從 出發的射線,為 上且含於 內的任一點,並以ρ表示 與 兩點間的距離,由假設知多元函式 點 處可微,從而有:
也即有存在,按照定義即證明了方嚮導數存在,且
梯度
定義
若多元函式在點存在對所有自變數的偏導數,則稱向量為函式在點的梯度 ,記作
向量的長度(或模)為
梯度與方嚮導數的關係
定理2 設多元函式
在點的某個領域屬於內有定義,且在點處可微。其中是軸對應的單位向量。向量為向量的方向餘弦。則有註:若多元函式在點點可微,當與方向相同時,方嚮導數取得最大值,也即在得梯度方向是其增長最快方向;當與方向相反時,方嚮導數取得最小值,也即在的梯度反方向是的值減少最快方向。
套用
(1)設,求在點沿方向的方嚮導數。
解:易見在點可微。所以
以及方向的方向餘弦
故
(2)設質量為m的質點位於原點,質量為1的質點位於,記,求的梯度。
解:
若以表示上的單位向量,則有