基本介紹
斜線長定理 從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中：
1.射影相等的兩條斜線段相等；
2.射影不等的兩條斜線段中，射影較長的斜線段較長；
3.垂線段比任何一條斜線段都短。
圖1斜線長定理的證明
斜線長定理是指自平面外一點引這平面的兩條斜線和一條垂線，則投影相等，斜線長也相等；投影較長，斜線長也較長 。
證明 設AB⊥α，AC、AD、AE是從點A到平面α的斜線，且BC=BD，BE>BC(見圖2)。
圖2∵AB⊥α，
∴AB⊥BC，AB⊥BD，AB⊥BE，
(1)在直角三角形ABC及ABD中
∵BC=BD，AB為公共邊
∴△ABC≌△ABD，則AC= AD。
(2)∵BE> BC，在BE上截取BF= BC，連線AF
∵BF=BC，
∴AF=AC。
在AB和AE所作的平面內因∠AFE>90°，
∴AE>AF，因而AE>AC 。
斜線長定理的逆定理
射影長定理是斜線長定理的逆定理。
從平面外一點向這平面引一條垂線和若千條斜線：
(1)相等斜線的射影相等；
(2)較長斜線的射影較長。
例題解析
【例1】P是直角△ABC所在平面外一點，且PA=PB= PC，又O是斜邊AB的中點，求證：PO⊥平面ABC。
圖3證明：作PO'⊥平面ABC於O'。
∵PA= PB=PC，由斜線長定理可知：AO'=BO' =CO' ，即O'是△ABC的外心。又由已知O是△ABC斜邊AB的中點可知，O是△ABC的外心，
∴O與O'重合故PO'與PO重合，
∴PO⊥平面ABC。
說明：此題用直線與平面垂直的判定定理亦可證明，但不如用“同一法”證明簡捷 。
