概念
撓群(torsion group)亦稱周期群。一種常見的重要群類。若群G的所有元素的階都是有限的，則稱G為撓群；反之，若G的所有非平凡元素的階都是無限的，則稱G為無扭群。存在既不是撓群，也不是無扭群的群，即既包含非平凡的有限階元素，又包含無限階元素的群，稱為混合群。若群G的一切有限階元素組成群G的子群T，T是G的最大的周期子群，稱為G的最大周期子群。T是G的特徵子群，且G/T是無扭群。群的最大周期子群一般未必存在，但任意阿貝爾群恆有最大周期子群存在。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
子群
群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{H|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有H的交H是G的一個子群。
阿貝爾群
亦稱交換群。一種重要的群類。對於群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba.若群G的運算滿足交換律，即對任意的a，b∈G都有ab=ba，則稱G為阿貝爾群。由於阿貝爾(Abel，N.H.)首先研究了交換群，所以通常稱這類群為阿貝爾群。交換群的運算常用加法來表示，此時群的單位元用0(零元)表示，a的逆元記為-a(稱為a的負元)。用加法表示的交換群稱為加法群或加群。
群論
群是現代數學中最重要的具有概括性 的概念之一，有關群的性質及其結構的理論稱為群論。
1831年，年僅20歲的青年數學家伽羅華得到n次方根可否通過對係數施行四則和開方運算來求解的判據，一舉解決了五次以上代數方程求解的千古難題。這個問題得以解決，取決於他對置換群性質所作的深入討論，群的概念就在這時產生了。 現在研究代數方程的性質與群的性質之間的關係已成為一門大理論伽羅華理論所研 究的對象，伽羅華理論在群論的發展中起 作決定性的作用。40年後克萊因的變換群導致幾何觀的一次革命；索福斯·李研究微分方程，開創李群論，更深刻影響著數學物理的發展。在數學物理的對稱現象的研究中，對稱的概念看來是明顯的，但對對稱概念的精確和一般的描述，特別是對稱性質量上的計算，卻要用群論這個工具才行。19世紀到20世紀，在幾何、晶體等物理、化學中，都弄清了對稱規律的重要意義，因此群論的方法和結果得以廣泛使 用。1890年，費道洛夫用群論闡明晶體結構的幾何形態，特別是20世紀30年代， 書爾、維格納等人把群論套用於量子力學取得成功，導致了原子、分子結構的重要 發現。現在群論已經是量子物理和量子化學常用的工具了，這更使群論走出了純數 學專業的數學王國，活躍於更廣闊的科學地。今天，群的概念已普遍被認為是數學及其許多套用中最基本的概念之一，它不但滲透到像幾何學、代數拓撲學、函式論、 泛函分析及其他許多數學分支中而著重要的作用，還形成了一些新學科，如拓撲群、李群、代數群、算術群等。它們還具有與 群結構相聯繫的其他結構，如拓撲、解析 流形、代數簇等，並在結晶學、理論物理、量子化學以至編碼學、自動機理論等方面 都有重要套用。作為推廣 “群” 的概念的 產物，群論及其在計算機科學中的套用，也有很大的發展。
群的概念中有兩個方面： 一是指出它 的元素是哪些事物，二是元素間運算的規則，可分別用它們來研究群。研究群的元素和元素集合的各種性質，以及它們同群的運算性質之間的聯繫，這常常是研究各種具體的群，如交換群、置換群、運動群、 拓撲群等；也可研究完全由群的運算性質表示出來的特性，它屬於抽象群論或一般群論。下面是一些抽象群論的概念： 同構， 一個群的元素與另一個群的元素對應，運算結果也是對應的，稱兩個群同構; 一個 群所含元素的個數稱為群的階，群G的階 記為|G| ，|G|有限時為有限群，無限時為無限群；同構中兩個群中的元素是一一對應的，若存在多對一的對應則稱為同 態。
