抽象群
一個集G，如果它不是空集，而且滿足以下四個條件，就叫做群：①G中有一個閉合的結合法。這就是說，G中任意兩元a，b的結合c仍然是G中元。結合法通常寫成乘法，這時c又叫做a,b的積。一般用記號ab=c或a·b=c表示。要注意，積ab雖然是由a,b唯一決定的，但一般它還與a,b的順序有關。即ab不一定等於ba。
②G的結合法滿足結合律。也就是說，對於G中任意三元a，b，c，有（ab）c=a（bc）。
③G中有一個（左）單位元e，對G中任意元a，有ea=a。事實上由於可以證明群的左單位元也是右單位元，因而一般把e就叫做單位元。
④對於G中任意元a，在G中有一個滿足a^（-1）a=e的（左逆元）a^（-1），此處e就是上面的（左）單位元。實際上，可以證明，在群中，a的左逆元也是右逆元。因此，一般把a^（-1）就叫a的逆元。
附註
①現代意義上的抽象群概念由法國天才數學家伽羅華（Eacute;variste Galois，1811-1832）最先建立起來。②群的定義有多種等價的表達形式，以這一種最為基本。③一個非空集，若只滿足上面的條件①，則稱為乘集；若滿足條件①②，則稱為半群，這也是一個重要概念。
④若群的結合法還滿足交換律：ab=ba，則稱為交換群或阿貝耳（N.H.Abel，1802-1829）群。
⑤由一個元組成的群叫單位元群，元數是有窮的群叫有窮群，否則叫無窮群。群的元數記作|G|。
