截長補短法

截長補短法

截長補短法,是國中數學幾何題中一種輔助線的添加方法,也是把幾何題化難為易的一種思想。截長就是在一條線上截取成兩段,補短就是在一條邊上延長,使其等於一條所求邊。

定義

截長1.過某一點作長邊的垂線 2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段,再證剩下的線段與另一短邊相等。

補短1.延長短邊 2.通過旋轉等方式使兩短邊拼合到一起。

用法例題

例1:正方形ABCD中,點E在CD上,點F在BC上,∠EAF=45°。 求證:EF=DE+BF

證明:延長CD到點G,使得DG=BF,連線AG。

∵ABCD是正方形

∴∠ADG=∠ABF=90°,AD=AB

又∵DG=BF

∴ADG≌ABF(SAS)

∴∠GAD=∠FAB,AG=AF

∵ABCD是正方形

例1-圖 例1-圖

∴∠DAB=90°

=∠DAF+∠FAB

=∠DAF+∠GAD

=∠GAF

∴∠GAE=∠GAF-∠EAF

=90°-45°

=45°

∵∠GAE=∠FAE=45°,AG=AF,AE=AE

∴△EAG≌△EAF(SAS)

∴EF=GE

=GD+DE

=BF+DE

例2:如圖,已知AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中點,求∠AEB的度數。

解:向AE方向延長AE,交BC的延長線於F。

∵∠5和∠6是對頂角

∴∠5=∠6

∵E是CD的中點

∴DE=EC

∵AD∥BC

例2-圖 例2-圖

∴∠1=∠F

∴△AED≌△CEF(AAS)

∴AD=CF,AE=EF

∴AB=AD+BC

=CF+BC

=BF

∴△ABF是等腰三角形且AF為底邊

又∵AE=EF且點E線上段AF上

∴BE⊥AF

∴∠AEB=90°

例3:如圖,在△ABC中,∠B=2∠C,AD平分∠BAC。求證:AB+BD=AC。

證明:在AC上截取AE=AB,連線DE

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

又∵AD=AD,AB=AE

∴△ABD≌△AED(SAS)

∴BD=DE,∠B=∠3

例3-圖 例3-圖

又∵∠B=2∠C

∴∠3=2∠C

又∵∠3=∠4+∠C

∴2∠C=∠4+∠C

即∠C=∠4

∴DE=CE

∴BD=CE

∵AE+EC=AC

∴AB+BD=AC

例4:如圖,AC平分∠DAB,∠ADC+∠B=180°。求證:CD=CB。

證明:在AB上找一點E,使AE=AD,連線CE

∵AC平分∠DAB

∴∠DAC=∠BAC

又∵AE=AD,AC=AC

例4-圖 例4-圖

∴△ACD≌△ACE(SAS)

∴∠ADC=∠AEC,CD=CE

∵∠ADC=∠AEC

∴∠AEC+∠B=∠ADC+∠B=180°

∵∠CEB+∠AEC=180°

∴∠B=∠CEB

∴CE=CB

∴CD=CB

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