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簡介
《引理集》 阿基米德著作之一
只有阿拉伯文譯本傳下來,是15個初等幾何的問題集.也許不是阿基米德的原著而是後人收集整理的,因為在文章中不止一次提到阿基米德的名字.
“皮匠刀”與三分角
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命題8和3等分角問題有關.設AB是⊙O的任一弦,延長AB至C使BC等於圓的半徑.聯CO並延長之使交圓於E,D.求證:
AE弧長=3倍的BD弧長。
聯OA,OB,只要證明∠AOE=3∠BOD即可.實際上 ∠AOE=∠OAC+∠OCA=∠OBA+∠OCA=∠BOC+2∠OCA=3∠BOD.
現將問題倒過來考慮.設有∠AOE,求它的三等分角.這就是古希臘的三大作圖問題之一的“三等分任意角”問題.從理論上說用直尺和圓規是不可能解決的.受到本命題的啟發,只要在直尺上加一個點,就能輕而易舉地解決這歷史難題.
在直尺ABC上記上一個點B,使B至尺端C的距離等於半徑.現令尺通過A點,B在圓周上移動,當C落在直徑的延長線EDC上時,作ABC直線,則∠C就是所求的三等分角.
當然這已不是歐幾里得幾何的尺規作圖法,因為工具已經改變(即使只加一點!),而且不合作圖公法.不過它說明了一個問題,有些初學者只知道三等分角是難題,但不知難在尺規的限制上,如不限於尺規、那真是易如反掌.