定義
平坦模
平坦模
平坦模
平坦模定義1 平坦模是一類重要的模。右A模M，若函子-是正合的，則稱是 平坦模。類似地，對左A模M，若函子-正合，則稱是平坦模。投射模一定是平坦模，反之不一定成立。環A上每個左A平坦模是投射模的充分必要條件是，環A是左完全環 。
平坦模
平坦模定義2-模叫作平坦的，若對每個單同態
平坦模
平坦模映射也是單同態。
相關性質定理
推論1平坦模的同構像也是平坦的。
平坦模
平坦模
平坦模
平坦模定理2令(或)，則有：是平坦的是平坦的。
定理3每個投射模都是平坦的。
平坦模
平坦模 平坦模引理4設有-模和，
平坦模
平坦模
平坦模
平坦模 平坦模(1) 若，則存在有限生成子模與（）使得。
平坦模
平坦模(2)設，則。
平坦模推論5 設是一個模且使它的每個有限生成子模包含在一個平坦子模內，則M是平坦的。
平坦模 平坦模推論6若對一個同態和一個模，
平坦模
平坦模
平坦模不是單同態，則存在有限生成子模使得也不是單同態。
平坦模定理7對模，下列敘述是等價的：
平坦模(1)是平坦的；
平坦模
平坦模
平坦模(2) 對每個有限生成右理想，及包含映射，則是單同態；
平坦模(3)是內射的。
平坦模定理8對於環，下列條件是等價的：
平坦模(1) 每個模是平坦的；
平坦模
平坦模
平坦模(2) 對每個元素，存在一個元素使得；
平坦模
平坦模(3)的每個循環右理想是的直和項；
平坦模 平坦模(4)的每個有限生成有理想是的直和項。
平坦模
平坦模引理9 令是平坦的，表示包含映射，則下列是等價的：
平坦模(1)是單同態；
平坦模(2)。
平坦模
平坦模定理10令是平坦的，，則下列是等價的：
平坦模(1)是平坦的；
平坦模 平坦模(2)對每個有限生成理想成立。
平坦模
平坦模
平坦模
平坦模定理11令是投射的，，如果是平坦的，則。
平坦模
平坦模
平坦模推論12令是投射模，且，則。
