基本介紹
布爾格是布爾代數的等價概念，布爾(G.Boole)研究命題演算時發現的，也是最早研究的格，有補的分配格稱為布爾格，若布爾格僅含一個元素，則稱為平凡布爾格，亨廷頓(E.V.Huntington)把布爾格表征為每一元a都有惟一的補元a′，且滿足(a∧b)′=a′∨b′和(a∨b)′=a′∧b′的格，若在布爾格(B；∧，∨)中把取補記成一元運算“′”，把0，1看做兩個零元運算，則(B；∧，∨)就成為布爾代數(B;∧，∨，′，0，1)；反之，若在布爾代數中把二元運算∧，∨看成是格運算，把一元運算“′”看成是格中的元取補元時，它就成為布爾格.因而常把布爾格與布爾代數等同起來 。
定義
有補分配(complemented distributive)格定義
設<A，≤，∨，∧>是一個有界格，如果A既是有補格，又是分配格，那么A被稱為有補分配格 。
定理 設<A，≤，∨，∧>是一個有補分配格，A上每個元素都有唯一補元。
證明 有補格一定存在全上界1，和全下界0。有補格的每個元素至少有一個補元，因為格<A，≤，∨，∧>又是分配格，所以<A，≤，∨，∧>每個元素的補元唯一。
布爾格有補分配格上，每個元素的補元存在且唯一，此時元素x的補元可記為。
布爾格(Boolean lattice)定義
若<A，≤，∨，∧，1，0>是有補分配格，則稱其為布爾格。
布爾代數(Boolean algebra)定義
設<A，≤>是一布爾格，將對A上每個元素的求補看成一元補運算“﹣”，則布爾格可記為<A，≤，∨，∧，﹣，1，0>，並稱<A，∨，∧，﹣>為布爾代數。
原子(atom)定義
設<A，≤，∨，∧，1，0>是有界格，
A上蓋住全下界0的元素被稱為A上的原子。
A上被全上界1蓋住的元素被稱為A上的反原子。
布爾格是有界格，任何布爾格A，|A|>2。必存在正原子和反原子。一般稱正原子為原子。全上界1和全下界0不是原子 。
相關定理
布爾格定理1 設<A，≤，∨，∧，﹣>是任意布爾格，那么，
以下十大定律成立 ：
布爾格對合律：
冪等律：a∨a=a
交換律：a∨b=b∨a
結合律：(a∨b)∨c=a∨(b∨c)
分配律：a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)
吸收律：a∧(a∨b)=a
同一律：a∨0=a
零律：a∨1=1
布爾格互補律：a∨=1
布爾格De.Morgan律：
定理2 設<A，≤，∨，∧，﹣>是一布爾格，任意原子a∈A，與另一個非零元素b∈A之間，必有且僅有a≤b或a≤6兩者之一成立 。
定理3 設<A，≤，∨，∧，﹣>是一有限布爾格，b∈A是任意一個非0元素，至少存在一個原子a∈A，使a與b同在一條鏈上 。
