簡介
帶有定義域 {1,2,3,... } 的這種函式通常叫做二進制序列，就是說 0 和 1 的無限序列；通過限制到 { 1,2,3,...,n }，布爾函式是編碼長度為 n 的序列的自然的方法。
它有 2^{2^n} 個布爾函式；它們在複雜性理論的問題和數字計算機的晶片設計中扮演基礎角色。布爾函式的性質在密碼學中扮演關鍵角色，特別是在對稱密鑰算法的設計中(參見 S-box)。
在布爾值函式上的布爾運算逐點（point-wise）組合值（比如通過 XOR 或其他布爾運算符）。
布爾函式可以唯一的寫為積（AND）之和（XOR）。這叫做代數範式 (ANF）。
f(x1,x2,...,xn) =a0 +a1x1 + a2x2 + ... + anxn +
a{1,2}x1x2 + a{n-1,n}x(n-1）xn +
... +
a{1,2,...,n}x1x2...xn
序列 a0,a1,...,a{1,2,...,n} 的值因此還唯一的表示一個布爾函式。布爾函式的代數度被定義為出現在乘積項中的 xi 的最高數。所以 f(x1,x2,x3） = x1 + x3 有度數 1 （線性），而 f(x1,x2,x3） = x1 + x1x2x3 有度數 3 （立方）。
代數範式
布爾函式可以唯一的寫為積（AND）之和（XOR）。這叫做代數範式（ANF），也叫做Zhegalkin多項式。
這裡的序列 的值因此還唯一的表示一個布爾函式。布爾函式的代數次數被定義為出現在乘積項中的 xi 的最高次數。所以 f(x1,x2,x3） = x1 + x3 有次數 1 （線性），而 f(x1,x2,x3） = x1 + x1x2x3 有次數 3 （立方）。
對於每個函式 f 都有一個唯一的 ANF。只有四個函式有一個參數: f(x) = 0,f(x) = 1,f(x) = x,f(x) = 1 + x （它們都可以在 ANF 中給出），要表示有多個參數的函式，可以使用如下等式： ，這裡的 並且。實際上，如果 x1 = 0 則 x1h = 0 並因此 ；如果 x1 = 1 則 x1h = h 並因此。因為 g 和 h 二者都有比 f 少的參數，可以得出遞歸的使用這個過程將完成於只有一個變數的函式。例如，讓我們構造一個 （邏輯或）的 ANF: f(x,y) = f(0,y) + x(f(0,y) + f（1,y））；因為 並且 ，可以得出 f(x,y) = y + x(y + 1）；通過打開括弧我們得到最終的 ANF: f(x,y) = y + xy + x = x + y + xy。
在應用程式中的布爾函式
一個布爾函式介紹了如何確定一個布爾值輸出基於某種邏輯輸入計算的布爾值。這些職能發揮作用的問題的基本理論，複雜性 ，以及作為設計的電路晶片和數字電腦。布爾函式的性質研究中發揮關鍵作用密碼學 ，特別是在設計的對稱密鑰算法 （見替代框）。
布爾函式通常代表中的句子命題邏輯 ，有時作為多元多項式超過綠 ⑵，但更有效的申述， 二元決策圖 （BDD）的， 正常的否定形式 ，與命題向無環圖 （PDAG）。
在合作博弈論，布爾函式被稱為遊戲） 簡單的遊戲 （表決；這個概念套用到解決問題的社會選擇理論。
參見
代數集
布爾代數（邏輯）
布爾代數主題
布爾域
布爾邏輯
布爾值函式
邏輯連詞
真值函式
真值表
對稱布爾函式
決策樹模型
迴避的布爾函式
參考文獻
數位化設計，馬諾。米莫里斯德拉甘，斯坦科維奇，Radomir誠聘英才莫拉加，克勞迪奧(2003年11月)。揚科維奇"算術表達式的最佳化使用雙極性財產"(PDF格式))，電氣工程。塞爾維亞雜誌171。2010-04-06查閱。
盤點密碼學相關知識
| 盤點密碼學相關知識，密碼學是研究編制密碼和破譯密碼的技術科學。 |
