基本概念
1、第一型曲面積分的定義
設是空間中可求面積的曲面，為定義在上的函式。把分割為n個小曲面i（S),,(zyxfSSSni,,1L=）
，以記小塊曲面的面積，分割T的細度iSΔ{}的直徑iniST≤≤=1max，在上任取一點)iS,,iiiςηξ（（ni,,1L=），若極限 iniiiiTSfΔ∑=→10),,(limςηξ
存在，且與分割T與),,iiiςηξ（（）的取法無關，則稱此極限為在上的第一型曲面積分，記作。 ni,,1L=),,(zyxfS∫∫SdSzyx,( f , )
2、第一型曲面積分的計算
定理1 設有光滑曲面：，S),(yxzz=Dyx∈),(，為上的連續函式，則 ),,(zyxfSdxdyzzyxzyxfdszyxfDyxS∫∫∫∫++=221)),(,,(),,(
3、第二類曲面積分的計算
定理2 設R是定義在光滑曲面：，上的連續函式，以的上側為正側（這時的法線方向與軸正向成銳角），則有 S),(yxzz=xyDyx∈),(SSz
dxdyyxzyxfdszyxfxyDS∫∫∫∫=)),(,,(),,(
4、Gauss公式
定理3 設空間區域V由分片光滑的雙側封閉曲面圍成。若函式SP，Q，R在V上連續，且有一階連續偏導數，則： ∫∫∫∫∫++=∂∂+∂∂+∂∂SVRdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxp)(
其中取外側。 S
5、Stokes公式
定理4 設是 R3中的光滑曲面，的邊界SSL是了按段光滑的連續曲線。若函式P，Q，R在V上連續，且有一階連續偏導數，則： ∫∫∂∂∂∂∂∂SRQPzyxdxdydzdxdydz = 。 ∫∂++DRdzQdyPdx
基本方法
1、利用dxdyzzyxzyxfdszyxfDyxS∫∫∫∫++=221)),(,,(),,(和兩個公式計算第一型和第二型曲面積分； dxdyyxzyxfdszyxfxyDS∫∫∫∫=)),(,,(),,(
2、利用Gauss公式計算三維積分；
3、利用Stokes公式計算曲面積分。
基本要求
1、掌握求第一型和第二型曲面積分的方法；
2、會用Gauss公式和Stokes公式計算曲面積分。
典型例題
例1 求，其中是上半球面，。 ∫∫++SdSzyx)(S2222azyx=++0≥z
解 根據對稱性，==0，只要計算即可。由∫∫SxdS∫∫SydS∫∫SzdS222yxaz−−=，222yxaxzx−−−=，222yxayzy−−−=，所以。 3222)(adxdyadSzyxayxSπ==++∫∫∫∫≤+
例2 計算，其中是以原點為中心，邊長為2的立方體表面並取外側為正向。 ∫∫+++++Sdxdyxzdzdxzydydzyx)()()(S
解 分析：觀察積分結構及曲面的圖形知，Szyx、、兩兩對稱，由對稱性知，只需計算其中之一即可。
由 ∫∫∫∫∫∫−−−−+−−+=+11111111)1()1()(dzydydxydydydzyxS
8)1(2)1(21111=−−+=∫∫−−dyydyy
故=∫∫+++++Sdxdyxzdzdxzydydzyx)()()(83×=。 24
例3 證明：若為封閉曲面，為任何固定方向，則Sl0),cos(=∫∫SdSln，其中為曲面外法線方向。 nS
證 設n和l的方向餘弦為αcos，βcos，γcos和，，，則++，所以'cosα'cosβ'cosγ'coscos),cos(αα=ln'coscosββ'coscosγγ∫∫∫∫=SSdSln(),cos('coscosαα++） 'coscosββ'coscosγγdSdxdydzdxdydzS'''coscoscosγβα++=∫∫外
又因l的方向固定，，，都是常數，故'cosα=P'cosβ=Q'cosγ=R0=∂∂+∂∂+∂∂zRyQxP，由奧高公式，
原式∫∫∫∫∫=++=VSRdxdyQdzdxPdydz(zRyQxP∂∂+∂∂+∂∂）dxdydz0=。
自測題
1．利用高斯公式求下列積分：
1) 222Sxdydzydzdxzdxdy++∫∫，其中
(a) 為立方體0,S,xyza≤≤的邊界曲面外側；
(b) 為錐面S222(0)xyzzh+=≤≤，下側．
2) 333Sxdydzydzdxzdxdy++∫∫，其中是單位球面的外側； S
3）設是上半球面S22zaxy=−− 2的上側，求
(a) Sxdydzydzdxzdxdy++∫∫，
(b) ()()22222Sxzdydzxyzdzdxxyyzdxdy+−++∫∫；
4) ()()()222222Sxyzdydzyzxdzdxzxydxdy−++−++−+∫∫，是 S
()()()2222xaybzc−+−+−=R的外側．
2． 用斯托克斯公式計算下列積分：
1) ∫++L32zdzdydxyx，其中
(a) L為圓周，方向是逆時針， 222,xyaz+==0
(b) L為所交的橢圓，從軸正向看去，按逆時針方向； 221,yzx+==y x
2) ∫−+−+−L)()()(dzyxdyxzdxzy，其中L是從(),0,0a經()0,,0a至()0,0,a回到(),0,0a
三角形；
3) ∫+++++L222222)()()(dzyxdyxzdxzy，其中
(a) L為1xyz++=與三坐標軸的交線，其方向與所圍平面區域上側構成右手法則，
(b) L是曲線，它的方向與所圍曲面的上側構成右手法則； 222222,2(0,0)xyzRxxyrxrRz++=+=<<>
4) ∫++Lxdzzdyydx，L是，從軸正向看去圓周是逆時針方向． 2222,0 x +y +z =a x+y+z= x
3．計算高斯積分
()2cos,SdSrrn∫∫
其中為簡單封閉光滑曲面，為曲面上在點SnS(),,ξηζ處的外法向，()()(),xyzrrijkrξηζ=−+−+−=．試對下列兩種情形進行討論：
1） 曲面包圍的區域不含S(),,xyz點；
2） 曲面包圍的區域含(S),,xyz點．
4．求證：()dSNRrdxdydzSV∫∫∫∫∫=,cos21，其中是包圍V的分片光滑封閉曲面，為的外法線方向．SNSR=(),,xyz,Rr=．分下列兩種情形討論：(1) 中不含原點（0，0，0）；(2) 中含原點（0，0，0）時，令VVlim0VVVdxdydzdxdydzrrεε−=+→∫∫∫∫∫∫，其中Vε是以原點為心，以ε為半徑的球．
5．利用高斯公式變換以下積分：
(1) Sxydxdyxzdzdxyzdydz++∫∫；(2) coscoscosSuuudSxyzαβγ⎛⎞∂∂∂++⎜⎟∂∂∂⎝⎠∫∫，
其中cosα，cosβ，cosγ是曲面的外法線方向餘弦．
6．設是具有二階連續偏導數的函式，並設()(,,,uxyvxy)
2222uuuxy∂∂Δ=+∂∂．
證明 luudxdydsnσ∂Δ=∂∫∫∫。其中σ為閉曲線所圍的平面區域，l,uvnn∂∂∂∂為沿l外法線的方嚮導數．
7．設222222,uuuuxyz∂∂∂Δ=++∂∂∂
S 是V的邊界曲面，證明：
(1) VSuudxdydzdSn∂Δ=∂∫∫∫∫∫；
(2) 222SVVuuuuudSdxdydzuudxdydznxyz⎡⎤⎛⎞∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞=+++Δ⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫∫∫∫∫∫∫∫．
式中u在V及其邊界曲面上有連續的二階偏導數，Sun∂∂為沿曲面的外法線的方嚮導數． S
8．計算下列曲面積分：
(1) ()()()22222Sxydydzyzdzdxzyxdxdy−+−+−∫∫，其中是S2222221xyzabc++= 下側； (0z≥ )
(2) ()()()coscoscos,SxydydzyzdzdxzxdxdyS+++++∫∫是立體Ω的邊界面，而立體Ω由1xyz++=和三坐標面圍成；
(3) SdSFn⋅∫∫，其中333,xyzFijk=++ n是的外法向，S為S2222 x +y+z =a (z ≥0) 上側；
(4) 3333233222,SxyzyzdydzzxdzdxxydxdySabc⎛⎞⎛⎞⎛⎞+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∫∫是2222221xyzabc++= 後側． (0x≥ )
9．證明由曲面所包圍的體積等於 S()1coscoscos3SVxyzαβγ=++∫∫ dS
式中cosα，cosβ，cosγ為曲面的外法線的方向餘弦． S
10．設有連續偏導數，且對任意光滑閉曲面，有 ,,PQRS
0SPdydzQdzdxRdxdy++=∫∫
證明0PQRxyz∂∂∂++=∂∂∂．
11．設在全平面上有連續偏導數，而且以任意點()(,,,PxyQxy) ()00,xy為中心，以任意正數為半徑的上半圓l：r00cos,sinxxryyrθθ=+=+ (0)θπ≤≤，恆有
()(),,lPxydxQxydy 0 +=∫
求證：(),0,QPxy 0
x∂≡≡∂．
