多重指標

多重指標是數學中一種方便的表示法,它將指標中的單個整數推廣為多個整數,它可以簡化多元微積分、偏微分方程與分布理論中的計算,也便於操作冪級數。

定義運算

一個n -維 多重指標是一個由整數構成的向量

多重指標 多重指標
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設 為多重指標,定義:

多重指標 多重指標
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套用最廣的是非負的多重指標,此時可以定義:

多重指標 多重指標
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(假設 )

多重指標 多重指標
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設 定義

多重指標 多重指標
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其中

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命題:若i,k是非負的n維多重指標,且 則

按定義直接操作即可證明。

套用範圍

多元微積分

多重指標可以將單變元微積分的許多結果直接推廣到多變元。以下是幾個例子:

多元冪級數:有兩個以上變元的冪級數通常寫成

多重指標 多重指標
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其中 是n-維多元指標而 ,以簡化冗長的表法

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多項展開

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萊布尼茨公式 設 存在夠高階的導數,則

多重指標 多重指標
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泰勒展開式: 對一多元解析函式 f,當充分小時有下述展開
多重指標 多重指標

其實這不外是定義,多元指標在此提供了簡練的表示法。

對於存在夠高階導數的函式,我們也有帶餘項的泰勒展開式:

多重指標 多重指標

偏微分運算元

多重指標 多重指標

一個形式上的 n 變元 -階 偏微分運算元能以多重指標寫成

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分部積分:對有界定義域 上的緊支集光滑函式,我們有

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此公式用以定義分布與弱導數。

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