定義
亦稱最小作用原理.力學中的一個變分原理.拉格朗日函式L是質點組的動能與勢能之差,即L=T-V。
哈密頓原理是以變分為基礎的建模方法,設系統的動能為T,勢能為V,非保守力的虛元功為δw時,則哈密頓原理可以表示為
![哈密頓原理](/img/0/f1f/wZwpmLwEDM1gDOzUDO2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1gzLwAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
哈密頓原理常用來建立連續質量分布和連續剛度分布系統(彈性系統)的動力學模型。
哈密頓原理斷言:在一切容許的運動中,質點組的真實運動滿足積分
![哈密頓原理](/img/8/2e4/wZwpmLwATOzQTNzgTO2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4kzL1AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
有極值的必要條件δJ=0.
如同一般變分原理一樣,從哈密頓原理可以等價地推出相應的質點組的運動方程,通常是微分方程.如果力學系統處於靜力平衡穩定狀態,則因動能為零,位能與時間無關,哈密頓原理轉化為最小位能原理:
![哈密頓原理](/img/f/c83/wZwpmLzATN1IjN2IzN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyczLwAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
在力是保守力的情況下,對任何有限粒子組,對於更一般的動力系統以及連續介質,這一原理的推廣同樣適用.哈密頓原理還可推廣到電磁學、量子學說以及相對論中的基本定律.量子學說的創立者普朗克(Planck,M.)這樣評價哈密頓原理,“物理學中最崇高且最為人們殷切追求的目標,是把業已觀察到並行將觀察到的一切自然現象縮並成單獨一個原理……在那些標誌著過去幾百年物理科學成就的,多少帶有一般性的定律中,最小作用原理,就其內容和形式而論,可能最接近於理論研究上這一理想的最終目標.”
原理的證明
因為
![式1](/img/5/d73/wZwpmL1YTO1UTM2gzM3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4MzL1gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
所以
![式2](/img/d/653/wZwpmL2UjMzQTOycDM3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3AzLyczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
由分部積分關係並考慮到固定點A,B的變分δq1為零,有
![式3](/img/1/49a/wZwpmLygjM2IjN3MDN3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzQzLyAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![式3](/img/0/cc4/wZwpmL0gDN3MDN2EjN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxYzL4AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
代人式2,得
![哈密頓原理](/img/6/4e8/wZwpmLyQDN4EjNzcDM3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3AzLxIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
根據變分原理,歐拉方程為
![式5](/img/4/1f6/wZwpmLwgTN2ATMyEzN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxczLyczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
式5就是在勢力作用下的拉格朗日方程,即當
![哈密頓原理](/img/1/57f/wZwpmL4gDN1QzM2MDM3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzAzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
的情況.在對積分極限加上一些限制條件,使真實運動的作用量的二階變分δ²H為正值時,真實運動作用使H取極小值,此原理稱為哈密頓最小作用量原理.因而拉格朗日方程5是哈密頓原理的充要條件.
當完整質點系統所受主動力中包含有勢力和非有勢力兩部分時,哈密頓原理有如下形式:
![式6](/img/a/e24/wZwpmL2EjNwYzNyEzN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxczL0YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![哈密頓原理](/img/e/54e/wZwpmLwUTM5YjM4YzM3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2MzLwIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![哈密頓原理](/img/a/af2/wZwpmL1YzM1gTNzkDO2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5gzLzMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![哈密頓原理](/img/f/9fb/wZwpmLxIjN1kjMwMTOxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzkzL0YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![哈密頓原理](/img/a/af2/wZwpmL1YzM1gTNzkDO2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5gzLzMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
式中,δ為非有勢力的虛功之和.上式與一般形式的拉格朗日方程
![式7](/img/0/a61/wZwpmLxMzM0QDMwUDM3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1AzL0IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
是等價的,
當
![式9](/img/c/310/wZwpmLxQDM3MjMwEzN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxczLyAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
時,式7即是式
![哈密頓原理](/img/8/8c4/wZwpmLyIzN0IjM4czM3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3MzL0MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)