概念
同倫等價空間(homotopy equivalent spaces)是利用映射的同倫關係給出的拓撲空間的另一種分類，在拓撲學中具有重要地位。若兩個拓撲空間X和Y之間存在一對連續映射f：X→Y，g：Y→X，使得複合映射g°f1和f°g1，其中1和1分別為X和Y到自身的恆同映射，則f稱為同倫等價，g稱為f的一個同倫逆，此時拓撲空間X和Y稱為是同倫等價的，或稱為具有相同的同倫型，記為XY.同倫等價的關係是全體拓撲空間族上的一個等價關係。特別地，同胚的兩個空間一定是同倫等價的，但其逆一般不成立。
映射
映射亦稱函式。是數學的基本概念之一。也是一種特殊的關係.設G是從X到Y的關係，G的定義域D(G)為X，且對任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x，y)，則稱G為從X到Y的映射。即關係G為映射時，應滿足下列兩個條件：
1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).
2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).這個被x∈X所惟一確定的y∈Y，通常表示為y=f(x)(x∈X)。f(x)滿足：
1) f(x)∈Y.
2) G(x，f(x))成立(x∈X).
3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).
關係G常使用另一些記號：f：X→Y或XY。f與G的關係是y=f(x)(x∈X)，若且唯若G(x，y)成立。可取變域X中的不同元素為值的變元稱為自變元或自變數。同樣可取變域Y中的不同元素為值的變元稱為因變元或因變數。始集X稱為映射f的定義域.記為D(f)或dom(f)。終集Y稱為映射的陪域，記為C(f)或codom(f).Y中與X中的元素有關係G的元素的組合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域，記為R(f)或ran(f)。當y=f(x)時，y稱為x的象，而x稱為y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。對於AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象。記為f(A).對於BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}稱為B的原象。記為f(B)。顯然(A)=f(x)，f(B)=f(y)。
同倫
設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射，若存在連續映射H：X×I→Y使得：
H(x，0)=f(x)
H(x，1)=gx∈X
則稱f與g同倫，記為f≃g：X→Y或f≃g，映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{h}，h連續地依賴於t且h=f，h=g，即當參數t從0變到1時，映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切連續映射之集，則同倫關係≃是C[X，Y]上等價關係，每個等價類稱為一個同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續映射，若對每個x∈X，點f(x)與g(x)可由Y中線段連結，則f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個元素。設X，Y與Z均為拓撲空間，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，則gf≃gf： X→Z。
設X，Y為拓撲空間，若存在連續映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Id且f·g≃id。這Id、id均表示恆同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X≃Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x∈X，使得常值映射C：X→X。x→x與映射id同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關係是拓撲空間之間的等價關係。X可縮等價於下列幾條中任意一條：(1)id≃0，即恆同映射id零倫。(2) 對任意空間Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)對任意空間Z和連續映射g：Z→X，g≃0。
設A是空間X的子空間，i：A→X表包含映射，若存在連續映射r：X→A，使得r|=id(或r·i=id)，則r稱為X到A的保核收縮，A稱為X的收縮核。若有保核收縮r：X→A滿足i·rid：X→X，則H稱為X到A的形變收縮，A稱為X的形變收縮核，若同倫H還滿足對任意x∈A和t∈I有H(x，t)=x，則H稱為X到A的一個強形變收縮，A稱為X的強形變收縮核。強形變收縮是形變收縮，且若A是X的形變收縮核，則內射i：A→X是同倫等價。
兩個拓撲空間X和Y同倫等價的充要條件是：存在空間Z，使得X與Y分別同胚於Z的兩個強形變收縮核。
倫型相同的拓撲空間所共有的性質稱為同倫不變數。由於同胚的空間必同倫，故同倫不變數一定是拓撲不變數。代數拓撲學主要研究空間的同倫。
拓撲空間
拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
同胚
同胚是數學上指一對一的一種對應。在集合論(set theory)中指兩組成員的一種屬性，一組中的任何一個成員能同另一組中的一個成員配對，反之亦然。在拓撲學(topology)中，兩個空間中的一個能不撕破、不粘連地變形成另一個，這兩個空間就是同胚的。例如，球體的表面和立方體的表面就是同胚的。
拓撲空間之間的一種變換。若f是拓撲空間(X，T)到(Y，U)的單滿映射，並且f與f都是連續的，則稱f為同胚映射或拓撲變換。存在同胚映射的兩個拓撲空間稱為同胚的或拓撲等價的。同胚關係是等價關係.抽象空間的同胚是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)於1910年開始研究的。在狹窄的意義下同胚的概念早已被龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)引入。
