惠特尼[數學家]

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惠特尼，H。（Whitney，Hassler)1907年3月23日生於美國紐約；1989年5月10日卒於普林斯頓。

基本信息

數學、數學教育。惠特尼的祖父是語言學家，外祖父是著名天文學家S。紐康門（Newcomb，1897—1898年曾任美國數學會主席)，父親是法官。他少時喜歡製作機械玩具，並沒有數學上的偏愛。據他自己講，唯一與數學家生涯有關的是在9歲時思考能被9整除的數的公式，認為與10有關，而且據此推出被11整除的數的公式。國小、中學期間只學一點點數學，1921—1923年他到瑞士上學，他學一年法文、一年德文之外就學爬山。1924年上耶魯大學學習物理，其間也沒聽過數學，所用的微積分是他自修的，學完也就忘了。1928年取得物理學的學士學位後，又繼續專攻音樂，1929年取得音樂學士學位。他一生熱愛音樂，有高度音樂才華，會彈奏鋼琴，演奏小提琴、中提琴、雙簧管等樂器，曾擔任普林斯頓交響樂團首席小提琴手。還愛好爬山，《全集》中有他14歲時站在險峻的瑞士阿爾卑斯山峰頂端的照片。大學畢業後，由於對四色問題感興趣，去哈佛大學考G。D。伯克霍夫（Birkhoff）的博士研究生。但第一次考試沒有通過，這使伯克霍夫極為惱火。不過伯克霍夫還是收留了這位後來決不遜於自己的學生，而且在自己不專攻的領域指導他。不久，惠特尼的論文就一篇接一篇地出來了，在他1932年拿到博士學位時，他寫了近10篇論文，完全是圖論的。博士論文的題目是“圖的著色”（The coloring of graphs），其中定義及計算“色數”。由於他工作出色，1931—1933年任美國國家研究委員會研究員，1933年在哈佛大學數學系任講師，1946年升為教授。這時，他的方向也從圖論改為拓撲，1935年9月參加在蘇聯莫斯科舉行的國際拓撲學大會。而這次大會成為拓撲學史的里程碑，用他最後一篇論文的題目來說就是“莫斯科1935：拓撲學移向美國” (Moscow 1935：Topology moving toward America）。文中寫道，會上H。霍普夫（Hopf）成為他最喜歡的拓撲學家，當時所有大人物都去了，拓撲學的面貌正在改變：四個人不約而同地引進上同調，同倫論也正式出現，在向量場問題上的套用導致纖維叢概念的產生，而這種大改變與惠特尼的工作密不可分，也決定了惠特尼後來10年的工作方向。第二次世界大戰期間，他參與戰時研究工作，1943—1945年在科學研究發展局國防研究委員會套用數學組搞研究。戰後，他在美國數學會作1946年度大會講演，題目是“光滑流形的拓撲學”，1948一1950年任美國數學會副主席，1944—1949年任《美國數學雜誌》（American Journal of Mathematics）的編輯，1949—1954年任《數學評論》（Mathematical review）的編輯。1950年他任在哈佛召開的國際數學家大會程式委員會委員，在大會上作“n維空間中的r維積分”的報告。1952年他被任命為普林斯頓高級研究院教授，1977年退休。這個時期他曾任美國國家科學基金會數學組第一任主席，1966一1967年任國家研究委員會支持數學科學研究委員會委員。1967年起，他的興趣完全轉向數學教育，特別是中國小教育。他親自深入課堂，了解學生的思想及感覺，發現數學教學中許多問題。他指出小孩的直覺方式與數學家的方式十分接近。當時的學校教學目標狹窄，語言貧乏，學生碰到問題只會代公式，沒有學會思考。教學是灌輸莫名其妙的概念以及應付標準化的考試，學生只能被動接受。為此他制訂了教師進修計畫，寫了教師指導教材。他是美國、英國、比利時、巴西等國的數學教學的顧問。1979—1982年任國際數學教育委員會中心主席。由於他的非凡貢獻，他獲得很多榮譽。1945年他被選為美國國家科學院院士，1976年被授予美國國家科學獎章，1982年獲沃爾夫（Wolf）獎，1985年以其一生成就獲美國數學會斯蒂爾（Steele）獎。惠特尼一生髮表近80篇論文，三種專著，即《幾何積分論》（Geometric integration theory，1957）、《復解析簇》（Complexanalytic varieties，1972）和《數學活動》(Math activities，1974）。他是一系列新概念、新理論的開創者，其中最主要的是擬陣、上同調、纖維叢、示性類、分類空間、分層等。1。圖論 惠特尼一生對四色問題感興趣，他最早和最後的數學論文都是關於四色問題的。他給出四色問題的等價命題並研究可約性問題。從四色問題出發他研究一般圖論，特別是得出兩圖同胚的條件：如G和 G’是兩連通圖，均不包含三個形如 ab，ac，ad的弧。若存在任意具有公共頂點的兩弧到另一圖的具有公共頂點的兩弧之間的一一對應，則兩圖同胚。他定義圖的連通度，並給出n重連通的充分必要條件（所謂n重連通是指至少n+1個頂點的圖不可能因去掉n-1個或更少的頂點以及連線它們的弧而使所得的圖不連通。如果圖Gn重連通但不n+1重連通，則稱連通度為n）。他還定義圖G的對偶G’，證明圖G可嵌入平面的充分必要條件是G具有對偶圖G’，從而給著名的K。庫拉托夫斯基（Ku－ratowski）不可嵌入平面圖的定理一個直接的組合證明。他的博士論文是關於圖的著色問題，其中證明M（λ）的公式並進行計算，這裡M（λ）是用λ種顏色給一圖不同著色方法數，他引進一組數mij，它們不僅可用來計算M（λ），還可定義圖G的拓撲不變數； 其中R為圖G的秩，N為G的零度。他利用這些不變數研究圖的分類問題。惠特尼在組合論方面的最大成就是他引進擬陣（matroid）理論，這是一種抽象的線性相關性理論，它不僅包含圖論為其特例，而且還包括網路理論、綜合幾何以及橫截（transversal）理論等。他的出發點很簡單，考慮矩陣M的列C1，C2，…，Cn，這些列的子集或者線性獨立或者線性相關，從而所有子集可劃分為兩類，這些類並非任意，它必須滿足下面兩個條件：⑴一個獨立集的任何子集也是獨立的； ⑵如果Np及Np+1分別是p個列及p+1個列的獨立集，則Np加上Np+1中的某個列構成一個獨立的p+1集。他把滿足這兩個條件的系統稱為擬陣，並把許多圖的性質推廣到擬陣上。2。可微映射和奇點理論 ⑴可微函式的解析延拓 惠特尼對拓撲學的主要貢獻是建立微分拓撲學，為此，必須將拓撲學考慮的連續映射推廣到可微情形。惠特尼在他早期工作中（1932—1942）就為此奠定基礎。1925年蘇聯數學家П。C。烏雷松（Улысон）證明，如A是n維歐氏空間E中的閉集（有界或無界），f(x）為A中定義的連續函式，則f可延拓成為整個E上的連續函式F。惠特尼在1932年證明，存在F不僅連續，而且在E—A上可微，甚至解析；如果f(x）在A中屬於Cm，則在A中F與f相等，且F的到m階的各階導數與f的各階導數對應相等。其後他又考慮A為任意子集合的情形。此時在包含A的開集上可微階降1。他還研究泰勒展開的餘項的可微性問題，這些對研究奇點理論很重要。⑵奇點理論 奇點理論是惠特尼最重要的創造之一，它來源於微分嵌入及浸入問題，奇點是臨界點的推廣。1942年他首先 研究n維歐幾里得空間En到E2n-1的微分映射f的奇點，發現使f微小變化，可得f*，它的奇點是弧立奇點，並可化為標準型：yi=xi(i=2，…，n）， ym+i-1=xixi(i=2，…，n）。1955年，他首先對於平面E2到E的奇點類型進行分類；結果只有兩類，一類是折點（fold），其標準型為 另一類是尖點（Cusp），其標準型為 通過這篇論文，開創了奇點理論。1956年他又對En→Em的微分映射奇點的一些情形進行分類並得出標準型，其中包括n≥m=2，3以及（n，m)=（4，4），（5，5），（5，4），（n，2n-2）等情形。對於其他的En→Em，其中n=3，4，m=4，…，2n-3，在當時所知甚少。這個基本的奇點分類問題連同其他問題形成了奇點理論的熱門。同年R。托姆（Thorm）運用自己的橫截理論以及普遍開折理論首先取得突破，這項研究成為後來他的突變理論的基礎。其後1968—1971年J。麥澤（Mather）建立穩定性理論及決定性理論，1967年起以蘇聯數學家B。И。阿諾爾德（Арнолъв）為首的蘇聯學派在理論及套用方面取得輝煌的成就。1948年他還發表了“論可微函式的理想”（On ideals of di－fferentiable functions），這開闢了奇點理論另一個新方向。後來B。馬格朗日（Malgrange）等對這方面有很大突破，包括證明“預備定理”。⑶分層理論 分層理論是惠特尼最後創造的理論，從某種意義上說，也是奇點理論的自然延續。通常研究的歐氏空間及流形均有很好的齊性結構（局部具有相同的結構），但這點即使對代數簇也不滿足，特別是由解析幾何延續下來的實代數簇一般存在奇點。從1957年到1965年惠特尼研究實代數簇的拓撲學，並討論把簇分解為流形，1957年引進惠特尼層化的概念，並且對代數簇及解析簇進行層化分解，這概念後來被托姆發展成分層集理論，在奇點的局部及大範圍研究中起重要作用。1965年S。武雅謝維茨（ojasiewica）證明任何半解析集均有惠特尼分層。1965年惠特尼對解析簇定義了切向量、切平面族及切錐的概念，並考慮剖分時切集的協調問題。3。微分流形的拓撲學 雖然龐加萊甚至黎曼已研究微分流形的拓撲學，但是由於工具不足，真正創立微分流形的拓撲學以及微分拓撲學的是惠特尼，他在1936年的論文“微分流形”（Differentiable manifolds）中，奠定了微分流形理論基礎。他給出微分流形的內蘊定義，定義其上的Cr結構（1≤r≤∞），他證明所有Cr流形的Cr結構都包含C∞坐標系，且其C∞結構唯一確定。這個C∞結構稱為該流形的可微結構或微分結構或光滑結構，相應的流形稱為可徽流形或微分流形或光滑流形，微分流形與拓撲流形有本質的差別，即一個拓撲流形上可以不容許任何微分結構也可以容許多個微分結構，但是任何微分結構部容許實解析結構，而且還容許黎曼度量，這些也是惠特尼證明的。在這篇論文中，他證明了一些最基本的定理，特別是嵌入及浸入定理：任何n維微分流形均可微分嵌入在R2n+1（2n+1維歐氏空間）中，均可微分浸入在R2n中。1944年他又改進為n維微分流形可嵌入於R2n中，可浸入於R2n-1中。對於某些流形，這些結果已臻至善。這個工作開拓了微分流形的一個重要領域，其後，吳文俊等許多拓撲學家做出了貢獻。4。纖維叢及示性類 惠特尼在1935年首次定義真正的“纖維空間”，當時他稱為“球空間”，1940年他改稱為“球叢”，在1937年及1941年他對此作兩個報告，包括許多根本的結果，他還打算對此寫一本書，始終沒有完成。他的興趣一直集中於“示性類”（Characteristic class）上。他於1936年和瑞士數學家E。施蒂費爾（Stiefel）在1935年獨立地定義這種示性類，後來稱為施蒂費爾-惠特尼示性類。他的目的是用示性類來研究微分流形的拓撲學。對此，纖維叢只是一個工具，所以他的定義並非每一細節都講得很清楚，但是他的定義是很一般的。1940—1950年間，纖維叢成為研究許多拓撲問題（特別是同倫、同調及微分幾何問題）的主要工具。1949/1950年度的嘉當討論班以纖維叢為專題進行系統討論，1951年N。E。斯廷洛德（Steenrod）的專著《纖維叢的拓撲學》（Topology of fi－ber bundles）的出版，標誌著纖維叢理論的成熟，其中惠特尼做出突出貢獻。⑴分類問題 從一開始，惠特尼就主要研究纖維叢的分類問題，1937年他對球叢得出分類空間，即格拉斯曼流形Gn，r，並斷言底空間為B、秩為r的球叢同構類為〔B，Gn，r〕，即B到Gn,r映射的同倫類（nr），他給出證明概要，1943年斯廷洛德完成了證明，後稱惠特尼-斯廷洛德定理。惠特尼還知道以B為底空間的球叢的叢空間只依賴於B的同倫型。這事實於1939年為J。費爾德波（Feldbau）所證明，另一方面，惠特尼早在1935年，對纖維叢ξ及連續映射g：B’→B構造新纖維叢g *（ξ）並稱為g的拉回（Pull－back），在研究纖維叢的分類中至關重要。1959年在和A。道爾德（Dold）合作的論文（文獻中），對4維復形上的定向球叢進行分類。⑵示性類 施蒂費爾只考慮微分流形的切叢的示性類，而惠特尼考慮的要廣得多，他考慮自由球叢（E，B，P）的底空間B也可以是任意局部有限的單純複合形。他把示性類定義為施蒂費爾流形Sn，m的整係數同調類。他指出，Sn，m的同調群 1937年，他改用上同調定義未性類。1940年他指出，對於連續映射g：B’0→B， 如果E’=g*(E）為E的拉回，則Wr(E’）=g*(Wr(E））。同時他給出惠特尼的和公式：定義同一底空間上兩球叢E′，E〃的惠 其中∪表上積，他指出當r≥4，證明“極難”，1941年他只給出E及E′都是線叢的證明。公開發表的第一個證明是吳文俊在1948年給出的。他還用向量叢取代球叢，同年陳省身也發表另一個證明。惠特尼還給出示性類的形式冪級數以及偶示性類的概念。至此，施蒂費爾-惠特尼示性類的理論基礎正式建立。其後，J。米爾諾（Milnor）以惠特尼提出的四個定理為公理開展示性類理論，而且其他的示性類特別是Л。C。龐特里亞金（Понтрягин）示性類及陳省身示性類也是依據施蒂費爾-惠特尼示性類的模式定義及研究的。⑶示性類的套用 示性類在拓撲學及幾何學巾起著極為重要的作用，惠特尼本人主要套用示性類來研究浸入問題。例如，他證明8維實射影空間P8(R）不能浸入到R14中，但能浸入在R15中，他的理論後來為吳文俊等所發展。5。代數拓撲學 1935年是代數拓撲學的轉折點，其主要標誌是上同調理論與同倫理論的建立。在龐加萊引入同調概念40年後，四位數學家幾乎同時獨立地引入上同調概念，他們是J。W。亞歷山大（Alexander）、惠特尼、E。切赫（ech)、A。H。柯爾莫哥洛夫（Колмогоров）。當其他三位在1935年莫斯科會議宣布結果時，惠特尼的結果已經發表，上同調類由於有上積，從而有環結構，比同調包含更多的拓撲信息。同倫論中，1937年惠特尼用上同調來表述霍普夫-胡列維茨（Hurewicz）判據，如果X是n維局部有限胞腔復形，Y是n維（n-1）連通空間，則f，g：X→Y同倫若且唯若 Hn(Y；Z）→Hn(X；Z）。由此推出〔X，x0；Y，y0〕→Hn(X；πn(Y)) 是一一對應。對於不同維的映射，這些條件不一定成立，惠特尼在1936年給出過2維復形到2維或3維射影空間的映射同倫的代數條件，但未發表。1941年，H。E。羅賓斯（Robbins)推廣到2維復形到任何空間的映射的同倫分類，後來P。奧蘭姆（Olum）又大規模地予以簡化及推廣。對3維復形，龐特里亞金在1941年考慮它到S2的映射同倫分類，其中首先套用新出現的上積。其實惠特尼早在1936年已得出相應結果。1948年，他研究單連通空間R的第二及第三同倫群的關係，並據此給出3維復形k到R中兩個連續映射同倫的充分必要條件以及映射擴張的阻礙類。還應該指出，1938年惠特尼引進阿貝爾群的張量積概念，這對代數拓撲學及同調代數是必不可少的工具。6。幾何積分論 1946—1957年間，惠特尼建立幾何積分論。它是更一般的積分理論，例如n維空間中的r維積分。藉此，他給上鏈、上閉鏈等一個解析的解釋，例如幾何上鏈是處於“一般位置”的奇異鏈上的函式。這樣，他把 E。嘉當（Cartan）及 G。德·拉姆（de Rham）的外微分形式理論中的可微條件換成李普希茨（Lipschitz）條件得出的積分理論等價於代數上同調理論，對於更一般的李普希茨空間也成立，它包括多面體及絕對鄰域收縮核為其特例，特別是把斯托克斯（Stokes）定理推廣到李普希茨空間上，他的理論總結在《幾何積分論》（1957）一書中。

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