簡介
f(x)是函式的符號，它代表函式圖象上每一個點的縱坐標的數值，因此函式圖像上所有點的縱坐標構成一個集合，這個集合就是函式的值域。x是自變數，它代表著函式圖象上每一點的橫坐標，所有橫坐標的數值 構成的集合就是函式的定義域。f是對應法則的代表，它可以由f(x)的解析式決定。例如：f(x)=x^2+1,f代表的是把自變數x先平方再加1。x2+1的取值範圍（x2+1≥1）就是f(x)=x2+1的值域。如果說你弄清了上述問題，僅僅是對函式f(x)有了一個初步的認識，我們還需要對f(x)有更深刻的了解。
認識f(x)
我們可以從以下幾個方面來認識f(x)。
第一：對代數式的認識。每一個代數式它的本質就是一個函式。象x2-1這個代數式，它就是一個函式，其自變數是x，對x的每一個值x2-1都有唯一的值與之對應，所以x2-1的所有值的集合就是這個函式的值域。
第二：對抽象數的認識，對於一個沒有具體解析式的抽象函式，由於我們不知道它的具體對應法則也難以知道它的自變、定義域、值域，很難理解它的符號及其意義。
例如：f(x+1)的自變數是什麼呢？它的對應法則還是f嗎？f(x+1)的自變數是x,它的對應法則不是f。
我們不妨作如下假設，如果f(x)=x2+1,那么f(x+1)=(x+1)2+1,f(x+1)與（x+1)2+1這個代數式相等，即：（x+1)2+1的自變數就是f(x+1)的自變數。(x+1)2+1的對應法則是先把自變數加1再平方，然後再加上1。
再如，f(x)與f(t)是同一個函式嗎？
只須列舉一個特殊函式說明。
顯然，f(x)與f(t)它們的對應法則是相同的，如果x的取值範圍與t的取值範圍是相同的，則f(x)與f(t)就是相同的函式，否則，它們就是對應法則相同而定義域不同的函式了。
例：已知f(x+1)=x²+1，f(x+1)的定義域為[0，2]，求f(x)解析式和定義域
設x+1=t，則；x=t-1，那么用t表示自變數f的函式為：（也就是把x=t-1代入f(x+1)=x²+1中）
f(t)=f(x+1)=(t-1)²+1
=t²-2t+1+1
=t²-2t+2
所以，f(t)=t²-2t+2，則f(x)=x²-2x+2
或者用這樣的方法——更直觀：
令f(x+1)=x²+1中的x=x-1，這樣就更直觀了，把x=x-1代入f(x+1)=x²+1，那么：
f(x)=f[(x-1)+1]=(x-1)²+1
=x²-2x+1+1
=x²-2x+2
所以，f(x)=x²-2x+2
而f(x)與f(t)必須x與t的取值範圍相同，才是相同的函式，
由t=x+1，f(x+1)的定義域為[0，2]，可知道：t∈[1，3]
f(x)=x²-2x+2的定義域為：x∈[1，3]
綜上所述，f(x)=x²-2x+2（x∈[1，3]
對函式f(x)定義域的認識
如果一個函式是具體的，它的定義域我們不難理解。但如果一個函式是抽象的，它的定義域就難以捉摸。
例如：y=f(x) 1≤x≤2與y=f(x+1)的定義域相同嗎？值域相同嗎？如果已知f(x)的定義域是x∈ [1,2]，f(x+1)的定義域是什麼？
因為f(x)的定義域是 x ∈ [1,2]，即是說對1≤x≤2中的每一個數值f(x)都有函式值，超出這個範圍內的任何一個數值f(x)都沒有函式值。例如3就沒有函式值，即f(3)就無意義。因此，當x+1的取值超出了[1，2]這個範圍，f(x+1)也就沒有了函式值，所以f(x+1)的定義域是1≤x+1≤2這個不等式的解集，也就是說f(x+1)中x+1的值域是f(x)的定義域，又由於1≤x+1≤2故f(x+1)的值域與f(x)(1≤x≤2)的值域也就自然相同了。
看是不是同一個函式，因為都是f(),所以是同一個
（是不是統一函式只要看（）前面的字母是不是同一個，注意大小寫也要一樣才是同一函式）
題目中的“已知函式f(x)”中的x是一個抽象的概念，
x可以代替f()括弧中任意表達式，
如果他的定義域是（a,b）
那么，x+m和x-m的定義域都是（a,b）
就高中課程而言，函式定義域是說函式f（x）中，x的取值範圍。
二、求函式的定義域：
求函式的定義域:
y=1/x 分母不等於0;
y=sprx 根號內大於等於0;
y=logaX 對數底數大於0且不等於1,真數大於0;
區別值域
值域定義函式中，因變數的取值範圍叫做這個函式的值域函式的值域，在數學中是函式在定義域中應變數所有值的集合
常用的求值域的方法
（1）化歸法；（2）圖象法（數形結合），
（3）函式單調性法，
（4）配方法，（5）換元法，（6）反函式法（逆求法），（7）判別式法，（8）複合函式法，（9）三角代換法，（10）基本不等式法等[1]
誤區
關於函式值域誤區定義域、對應法則、值域是函式構造的三個基本“元件”。平時數學中，實行“定義域優先”的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學生對函式的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄彼，何況它們二者隨時處於互相轉化之中（典型的例子是互為反函式定義域與值域的相互轉化）。如果函式的值域是無限集的話，那么求函式值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時並不能奏效，還必須聯繫函式的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函式的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利於對定義域內函的理解，從而深化對函式本質的認識。
“範圍”與“值域”相同嗎？
“範圍”與“值域”是我們在學習中經常遇到的兩個概念，許多同學常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。“值域”是所有函式值的集合（即集合中每一個元素都是這個函式的取值），而“範圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都滿足這個條件）。也就是說：“值域”是一個“範圍”，而“範圍”卻不一定是“值域”。
