全集[數學含義]

一般的，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U。

基本信息

• 名稱：全集
• 拼音：quán jí
• 釋義：數學集合
• 例句：：“擬俟異日求得徵君全集，再謀專刻矣。”
• 作品名稱：《鷗波漁話·石唯庵殘稿》

定義

數學上，特別是在集合論和數學基礎的套用中， 全類（若是集合，則為 全集）大約是這樣一個類，它（在某種程度上）包含了所有的研究對象和集合。

在特定場合下

這個一般概念有一些精確的版本。 最簡單的可能就是， 任意集合都可能是全集。當研究一個特定集合的時候，這個集合就是全集。 若研究實數，則所有實數的集合實數線 R就是全集。 這是康托爾在1870年代和1880年代運用實分析第一次發展現代樸素集合論和集合的勢的時候默認的全集。 康托爾一開始只關心 R的子集。

這種全集概念在文氏圖的套用中有所反映。 在文氏圖中，操作傳統上發生在一個表示全集 U的大長方形中。 集合通常表示為圓形，但這些集合只能是 U的子集。 集合 A的補集則為長方形中表示 A的圓形的外面的部分。 嚴格地說，這是 A對 U的 相對補集 U\ A；但在 U是全集的場合下，這可以被當成是 A的 絕對補集 A。 同樣的，有空交集的概念，即零個集合的交集（指沒有集合，而不是空集）。 沒有全集，空交集將是所有東西組成的集合，這一般被認為是不可能的；但有了全集，空交集可以被當成是有條件（即 U）下的所有東西組成的集合。

這種慣例在基於布爾格的代數方法研究基礎集合理論時非常有用。 但對公理化集合論的一些非標準形式並非如此，例如新基礎集合論，這裡所有集合的類並不是布爾格，而僅僅是相對有補格。 相反， U的冪集，即 U的所有子集組成的集合，是一個布爾格。 上述的絕對補集是布爾格中的補運算；而空交集 U則作為布爾格中的最大元（或空交）。 這裡，適用於補運算、交運算和並運算（集合論中的並集）的德·摩根律成立，而且對空交和空並（即空集）也成立。

在一般數學中

一旦考慮給定集合 X的子集（在康托爾的例子中， X= R），就會進一步關心 X的子集組成的集合。 （例如： X上的一個拓撲就是一個 X的子集組成的集合。） 這些不同的 X的子集組成的集合本身並不是 X的子集，卻是 X的冪集 P X的子集。 當然，這還沒有完；可以進一步考慮 X的子集組成的集合所組成的集合，等等。 另一個方向是：可以關心笛卡爾積 X× X，或從 X映射到其自身的函式。 那么，可以得到笛卡爾積上的函式，或從 X映射到 X× P X的函式，等等。

這樣，儘管主要關心的是 X，仍然需要一個比 X大很多的全集。 順著上面的思路，可能需要 X上的 超結構。 這可以通過結構遞歸來定義，如下：

全集[數學含義]

設 S0 X為 X自身。設 S1 X為 X和 P X的並集。設 S2 X為 S1 X和 P( S1 X) 的並集。一般的，設 S n+1 X為 Sn X和 P( S n X) 的並集。則 X上的超結構，寫作 S X，為 S0 X， S1 X， S2 X，等等的並集或。

注意到，無論初始集合 X如何，空集總是屬於 S1 X。 重定義空集為馮·諾伊曼序數[0]。 則 {[0]}，僅含有元素空集的集合，屬於 S2 X；定義為馮·諾伊曼序數 [1]。 類似的，{[1]} 屬於 S3 X，則 {[0]} and {[1]} 的並集 {[0],[1]} 也屬於該集合；定義為馮·諾伊曼序數 [2]。 重複這個過程，所有的自然數都通過其馮·諾伊曼序數在超結構中表現出來。然後，若 x和 y屬於這個超結構，則 {{ x},{ x, y}}（這個集合表示了有序對( x, y)）也屬於它。從而，這個超結構將包含各種所想要的笛卡爾積。 而且，這個超結構也包含各種函式和關係，因為他們可以被表示為笛卡爾積的子集。 以及，還能夠得到有序 n元組，表示為域為諾伊曼序數 [ n] 的函式等等。

所以，若僅從 X= {} 出發，可以構造大量的用於數學研究的集合，它們的元素屬於 {} 上的超結構 S{}。 但是， S{} 的每個元素都是有限集合。 每個自然數都屬於 S{}，但“所有”自然數的集合 N不屬於 S{}（儘管它是 S{} 的“子集”）。 實際上， X上的超結構包含了所有的遺傳有限集合。 這樣，它可以被認為是“有限主義數學的全集”。 若有機會的話，可以建議19世紀的有限主義者利奧波德·克羅內克使用這個全集；他相信每個自然數都存在但集合 N（一個"完全的無窮大"）不存在。

然而，對一般的數學家（它們不是有限主義者）來說， S{} 還不夠，因為儘管 N是 S{} 的子集，但 N的冪集仍然不是。 特別的，任意的實數集都不是。 所以，需要重新開始這個過程，來構造 S( S{})。 簡單起見，就用給出的自然數集合 N來構造 SN， N上的超結構。 這常常被認為是“一般數學的全集”。 這個想法在於，所有數學一般研究這個全集的元素。 例如：任何通常的實數的構造（用戴德金分割表示）屬於 SN。 儘管採用自然數的非標準模型，非標準分析能夠在超結構中進行。

需要注意的是，這個部分在哲學上有些改變，這裡全集是任何被關心的集合 U。 上個部分中，被研究的集合是全集的 子集；而在這裡，它們是全集的 元素。 這樣儘管 P( S X) 是一個布爾格，而相應的 S X不是。 因此，幾乎不直接採用布爾格和文氏圖來描述這種超結構式的全集；在上個部分中，它們被用來描述冪集式的全集。 作為代替，可以採用獨立的布爾格 P A，這裡 A是 S X中任意相應的集合；則 P A是 S X的子集(實際上它屬於 S X)。

在集合論中

在一般數學中，可以精確定義 SN為全集；這是策梅洛集合論的模型。策梅洛集合論是由Ernst Zermelo最初在1908年提出的公理集合論。 策梅洛集合論的成功完全在於它能夠公理化"一般"數學，完成了康托爾在三十年之前開始的課題。 但策梅洛集合論對進一步發展公理集合論和數學基礎中的其他工作，特別是模型論，是不夠的。 舉一個戲劇性的例子：上述超結構的描述並不能獨立地在策梅洛集合論中完成！ 最後一步，構造 S成為一個無限並集，需要代換公理；這條公理在1922年被加入策梅洛集合論，成為如今通用的策梅洛-弗蘭克爾集合論。 所以，儘管一般數學可以在 SN 中進行，而 對 SN的討論不再"一般"，屬於元數學。

全集[數學含義]

全集[數學含義]

但是，若在超級的集合論中，可以發現上述的超結構過程只是超限歸納法的開始。 回到 X= {}（空集），並用（標準的）符號 V i表示 S i{}。 則有 V0 = {}， V1 = P{}，等等，和前面一樣。 但是，所謂"超結構"只是這個列中的下一項： Vω，這裡 ω 為第一個無窮大序數。 按照序數知識，得到：，可以對 任意序數 i定義 V i。 所有 V i的並集為馮·諾伊曼全集。注意，每個單獨的 V i都是集合，但他們的並集 V是一個純類。 在差不多時候加入ZF 系統的正則公理說， 每個集合都屬於 V。