中心仿射變換群

中心仿射變換群

中心仿射變換群是仿射變換群的子群,即平面上以同一點為中心的中心仿射變換的全體構成一個群,稱為中心仿射變換群 。

基本介紹

定義 保持原點不變的仿射變換叫做中心仿射變換,它的坐標表示是

中心仿射變換群 中心仿射變換群

前面講過的向X軸或向Y軸的壓縮是中心仿射變換的特例 。

定義向X軸和向Y軸的壓縮的積所得到的變換

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叫做伸縮變換。

顯然伸縮變換也是中心仿射變換的特例。

下面給出中心仿射變換的另一個特殊形式,錯切變換的定

定義坐標表示式是

中心仿射變換群 中心仿射變換群

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的仿射變換,前者叫做平面上沿X軸的錯切變換,後者叫做平面上沿y軸的錯切變換。

圖1表示矩形經過向X軸的錯切變換後所得的圖形。

容易驗證所有中心仿射變換構成群 。

圖1 圖1

中心仿射群

仿射幾何是由線性變換群

中心仿射變換群 中心仿射變換群

制約的。這種變換可以認為是

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和平移複合而成的 。上面像T的這種變換稱為 齊次仿射變換中心仿射變換,這種變換構成的集稱為 齊次仿射群中心仿射群。用“中心的"這個形容詞是因為原點或“中心”在這種變換下不變(用x=0,y=0代入即得)。式中a,b,d,e是實參數,並且滿足ae-bd≠0。加上這個條件的原因是:由T的變換公式可以從x和y算出x'和y',但在ae-bd=0時,這並非克萊因

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的變換。當ae-bd≠0時,讀者用中學代數中解二元一次方程組的辦法可從T的變換式由x'和y'算出x和y。因而這時T是個變換(一對一的到上映照)。注意,旋轉是一種特殊的仿射變換,此時a=e=cosθ,b=sinθ,d=-sinθ,而ae-bd=cos θ+sin θ=1 。

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