n維歐幾里得空間:基本介紹在解析幾何和數學分析中，我們對一維歐幾里得空間 -百科知識中文網

基本介紹

在解析幾何和數學分析中，我們對一維歐幾里得空間R¹(即R，實直線)，二維歐幾里得空間R²(即實平面)和三維歐幾里得空間R³(即現實的三維立體空間)有了比較深入的了解。現在，我們討論n維歐幾里得空間。

定義1 設n是正整數，由n個實數構成的有序數組的全體組成的集合，稱為 n維點集或 n維歐幾里得空間，記作Rⁿ，即

為了深入研究行維點集Rⁿ中鄰域、有界集、點列收斂等概念，需要對Rⁿ中的點之間定義距離。為了使問題討論適用於更廣泛的情形，我們對一般的集合給出距離的概念。

定義2 設X是一個非空集合，如果對於X中任何兩個元素x和y，都有一個確定的實數，記為ρ(x，y)，與之對應，且滿足下面三個條件，則稱ρ是X上的一個距離，稱ρ(x，y)是x和y之間的距離，而稱X是以ρ為距離的距離空間(或度量空間)，記為(X，ρ)。這三個條件是：

(1)非負性，ρ(x，y)≥0，而且ρ(x，y)=0若且唯若x=y；

(2)對稱性，ρ(x，y)=ρ(y，z)；

(3)三角不等式，ρ(x，y)≤ρ(x，z)+ρ(z，y)，這裡z也是X中的任意一個元素。

對於Rⁿ中的任意兩點定義實函式，則ρ(x，y)滿足距離的三個條件(1)，(2)，(3)，稱ρ為Rⁿ上的 歐幾里得距離，稱(Rⁿ，ρ)為n維歐幾里得空間。

定義3設P∈Rⁿ是一固定點，δ>0為一實數，則集合{P|ρ(P，P)<δ)稱為以P為中心的δ鄰域，記作U(P，δ)。

P稱為鄰域的中心，δ稱為鄰域的半徑，某鄰域當不需要指出半徑時，可以簡單地說是P的某鄰域，記作U(P)，顯然，在R，R ，R 中的鄰域U(P，δ)，就分別是以P為中心以δ為半徑的開區間、開圓和開球。

容易證明鄰域具有如下基本性質：

(1)對於Q∈U(P)，存在U(Q)U(P)；

(2)對於P≠Q，存在U(P)和U(Q)，使U(P)∩U(Q)=∅。

定義4設{P)是R 中一個點列，P∈R ，如果當k→∞時，有ρ(P，P)→0，則稱點列{P}收斂於P，記為或。

用鄰域的語言來說，就是：對P的任意鄰域U(P)，存在K∈N ，使當k>K時，P∈U(P)．

用“ε一N”語言來說，就是：對任意的ε>0，存在K∈N ，使當k>K時，ρ(P，P)<ε．

定義5設A，B是兩個非空點集，A與B的距離定義為