【Stirling公式】
lim(n→∞) √(2πn) * (n/e)^n / n! = 1
也就是說當n很大的時候,n!與√(2πn) * (n/e) ^ n的值十分接近
這就是Stirling公式.
【Stirling公式的證明】
令a(n)=n! / [ n^(n+1/2) * e^(-n) ]
則a(n) / a(n+1) = (n+1)^(n+3/2) / [ n^(n+1/2) * (n+1) * e ]
=(n+1)^(n+1/2) / [ n^(n+1/2) * e]
=(1+1/n)^n * (1+1/n)^1/2 *1/e
當n→∞時,(1+1/n)^n→e,(1+1/n)^1/2→1
即lim(n→∞) a(n)/a(n+1)=1
所以lim(n→∞)a(n) 存在
設A=lim(n→∞)a(n)
A=lim(n→∞)n! / [ n^(n+1/2) * e^(-n) ]
利用Wallis公式,π/2 = lim(n→∞)[ (2n)!! / (2n-1)!! ]^2 / (2n+1)
π/2 = lim(n→∞)[ (2n)!! / (2n-1)!! ]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞)[ (2n)!! * (2n)!! / (2n)! ]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞) 2^(4n) [ (n!)^2 / (2n)! ]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞) 2^(4n) [ (A * n^(n+1/2) * e^(-n) )^2 / (A * (2n)^(2n+1/2) * e^(-2n) )]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞) 2^(4n) [ 2^(-2n-1/2) * A * √n ]^2 / (2n+1)
=lim(n→∞) 2^(4n) * A^2 * 2^(-4n-1) * n/(2n+1)
=A^2 / 4
所以A=√(2π)
lim(n→∞)n! / [ n^(n+1/2) * e^(-n) ] = √(2π)
即lim(n→∞) √(2πn) * n^n * e^(-n) / n! = 1
【Stirling公式的意義】
Stirling公式的意義在於:當n足夠大之後n!計算起來十分困難,雖然有很多關於n!的不等式,但並不能很好的對階乘結果進行估計,尤其是n很大之後,誤差將會非常大.但利用Stirling公式可以將階乘轉化成冪函式,使得階乘的結果得以更好的估計.而且n越大,估計得就越準確.
