函式簡介
![伽瑪函式](/img/1/35e/wZwpmL3IDMxQzN3UTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1EzL2gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
伽瑪函式 (Gamma Function)作為階乘的延拓,是定義在複數範圍內的亞純函式,通常寫成 。
(1)在實數域上伽瑪函式定義為:
![伽瑪函式](/img/b/86a/wZwpmL0cjM2IjNxUjMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1IzLzIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
(2)在複數域上伽瑪函式定義為:
![伽瑪函式](/img/5/8a6/wZwpmL2IzM0ITN3UTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1EzLyIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![伽瑪函式](/img/5/719/wZwpmL2gDN3cTMxMTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzEzL2AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
其中 ,此定義可以用解析開拓原理拓展到整個複數域上,非正整數除外。
![複平面上的Gamma 函式](/img/2/4fa/wZwpmL2MDNwQzM1UDNzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1QzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
(3)除了以上定義之外,伽馬函式公式還有另外一個寫法:
![伽瑪函式](/img/a/ecb/wZwpmLwEzN2kjMxIDNzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyQzL0czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![伽瑪函式](/img/7/f2e/wZwpmL0YTO4EDO0AzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwMzL3gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![伽瑪函式](/img/4/c1e/wZwpmL3MjN4EDMxQTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0EzL4gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
我們都知道 是一個常用積分結果,公式(3)可以用 來驗證。
(4)伽馬函式還可以定義為無窮乘積:
![伽瑪函式](/img/5/bc5/wZwpmLzQDN5ATO5QzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
不完全gamma函式
詳見不完全伽馬函式
歷史背景
1728年,哥德巴赫在考慮數列插值的問題,通俗的說就是把數列的通項公式定義從整數集合延拓到實數集合,例如數列1,4,9,16.....可以用通項公式n²自然的表達,即便 n 為實數的時候,這個通項公式也是良好定義的。直觀的說也就是可以找到一條平滑的曲線y=x²通過所有的整數點(n,n²),從而可以把定義在整數集上的公式延拓到實數集合。一天哥德巴赫開始處理階乘序列1,2,6,24,120,720,...,我們可以計算2!,3!,是否可以計算2.5!呢?我們把最初的一些(n,n!)的點畫在坐標軸上,確實可以看到,容易畫出一條通過這些點的平滑曲線。
![伽瑪函式](/img/8/8a2/wZwpmLwAzNwETN4QTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0EzLyUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![伽瑪函式](/img/9/0dc/wZwpmL1UzM5UjNzETNzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxUzLyIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
但是哥德巴赫無法解決階乘往實數集上延拓的這個問題,於是寫信請教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼爾·伯努利,由於歐拉當時和丹尼爾·伯努利在一塊,他也因此得知了這個問題。而歐拉於1729 年完美地解決了這個問題,由此導致了伽瑪 函式的誕生,當時歐拉只有22歲。
函式性質
1、通過分部積分的方法,可以推導出這個函式有如下的遞歸性質:
Γ(x+1)=xΓ(x)
於是很容易證明,伽馬函式可以當成是階乘在實數集上的延拓,對於正整數n,具有如下性質:
![伽瑪函式](/img/a/056/wZwpmL2EDN2gDM3EzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxMzL2czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
2、與貝塔函式的關係:
![伽瑪函式](/img/b/6e9/wZwpmLzQzMxcTM3EjMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxIzL2EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
3、在機率的研究中有一個重要的分布叫做 伽瑪分布:
![伽瑪函式](/img/0/c81/wZwpmL4UDNxUzMxMzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzMzLwAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![伽瑪函式](/img/d/a19/wZwpmL4YDNzQDM3QDNzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0QzLxczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
其中 。
![伽瑪函式](/img/7/32a/wZwpmLzMTM1MDM4MjMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzIzL4gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
4、對 ,有
![伽瑪函式](/img/e/6d8/wZwpmL3cTN4kDNwYjMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2IzLxAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
這個公式稱為 余元公式。
![伽瑪函式](/img/9/83b/wZwpmLxcTO3YjM1MTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzEzL0YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
由此可以推出以下重要的機率公式:
![伽瑪函式](/img/6/6dd/wZwpmL2ITO5IDN3QzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzL0gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
5、對於 ,伽馬函式是嚴格凹函式。
![伽瑪函式](/img/6/116/wZwpmL4ATO2IzMxMzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzMzL0IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
6、伽馬函式是亞純函式,在複平面上,除了零和負整數點以外,它全部解析,而伽馬函式在 處的留數為
![伽瑪函式](/img/5/7bb/wZwpmL3IzN4gTNzEjMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxIzLyYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
Stirling公式
Gamma 函式從它誕生開始就被許多數學家進行研究,包括高斯、勒讓德、魏爾斯特拉斯、劉維爾等等。這個函式在現代數學分析中被深入研究,在機率論中也是無處不在,很多統計分布都和這個函式相關。Gamma 函式作為階乘的推廣,首先它也有和 Stirling 公式類似的一個結論:即當x取的數越大,Gamma 函式就越趨向於 Stirling 公式,所以當x足夠大時,可以用Stirling 公式來計算Gamma 函式值。
![伽瑪函式](/img/9/9a3/wZwpmLzQzM2YDNyAzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwMzL4AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
函式內容
伽瑪函式的對數的導數稱為Digamma函式 ,記為
![伽瑪函式](/img/4/8e9/wZwpmLwYDM3YzM2QTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0EzL1IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
。
Digamma函式同調和級數相關,其中
![伽瑪函式](/img/8/ccb/wZwpmLwAjM5ITNxYTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2EzL0gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
其中
![伽瑪函式](/img/a/a0a/wZwpmLxMTMyQjN0ETMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxEzL4MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
是歐拉常數。
而對於任意x有
![伽瑪函式](/img/8/b52/wZwpmL3MTM2gTN0YTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2EzL0gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
在複數範圍內,Digamma函式可以寫成
![伽瑪函式](/img/8/240/wZwpmL4MDN1YjMyETMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxEzL0EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
而Digamma函式的泰勒展開式為
![伽瑪函式](/img/d/f1a/wZwpmL4EzM2YjNzIzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyMzLxUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![伽瑪函式](/img/1/a88/wZwpmL0IDMxYzN1UzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1MzL1UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
其中函式 為黎曼zeta函式,是關於黎曼猜想的一個重要函式。
類似伽瑪函式,Digamma函式可以有漸進式:
![伽瑪函式](/img/5/e09/wZwpmLyIDO5MjN0UTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1EzLwMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
積分形式
![伽瑪函式](/img/5/8c8/wZwpmL0ETOwUjN0UTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1EzL0IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
digamma值
![伽瑪函式](/img/8/b52/wZwpmL3MTM2gTN0YTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2EzL0gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![伽瑪函式](/img/a/983/wZwpmL2gzN4kzN3IjMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyIzLxYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![伽瑪函式](/img/1/558/wZwpmLxcTOxAjNxEjMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxIzL2UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![伽瑪函式](/img/f/901/wZwpmL4MjM2gTN1gjMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4IzLzQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![伽瑪函式](/img/5/f28/wZwpmL4EzNwEzM4ATNzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwUzL2EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![伽瑪函式](/img/c/603/wZwpmL2ETOzgDO1IDNzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyQzLxIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![伽瑪函式](/img/2/71a/wZwpmL2cjM3kTN1YzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2MzLzEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
函式套用
在Matlab中的套用
其表示N在N-1到0範圍內的整數階乘。
公式為:gamma(N)=(N-1)*(N-2)*...*2*1
例如:
gamma(6)=5*4*3*2*1
ans=120