Schmidt正交化

施密特正交化(Schmidt orthogonalization）是將一組線性無關的向量變成一單位正交向量組的方法。

施密特正交化(Schmidt orthogonalization求歐氏空間正交基的一種方法.從歐氏空間任意線性無關的向量組amaZ,...,a:出發，求得正交向量組I3,風，…，風，使由a,}az}"..}ak生成的子空間L(aaZ,...,ak)等於由刀，，幾…，八(k一1,2,w,m)生成的子空間L(p}}},...,pk)的方法，稱為施密特正交化.具體做法如下:設am aZ } ".. } ak是線性無關的向量組，取屍，一“1，再取

得到正交向量組}1}}2} }}} }八，且I}CYICYg,"..}ak)=I}刀，，幾，…，八).施密特正交化方法可由n維歐氏空間的任一個基得到正交基，再單位化可得到標準正交基.因此，任何有限維歐氏空間(酉空間)必有標準正交基.

證明

兩兩正交

用數學歸納法

即證

(

,

)兩兩正交.

對k=2顯然成立。

假設當k=m時命題成立

1.

對k=2顯然成立。

2.

假設當k=m時命題成立

設s<m+1,s∈z*

由假設當k=m時命題成立，

這就證明了當k=m+1時命題成立

綜上所述，

(

,

)兩兩正交.

這就證明了

兩兩正交。