Lagrange乘子法

Lagrange乘子法，一般用來求函式z=f(x,y)在滿足約束條件φ(x,y)=0時的條件極值問題。其基本思想是設法將條件極值問題轉化為無條件極值問題。

lagrange乘子法

用途

一般用來求函式z=f(x,y)在滿足約束條件φ(x,y)=0時的條件極值問題。其基本思想是設法將條件極值問題轉化為無條件極值問題。

具體解法

1.構造輔助函式（稱為拉格朗日函式）

F=F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)

其中λ為待定常數，稱為拉格朗日乘數。將原條件極值問題化為求三元函式F(x,y,λ)的無條件極值問題。

2.由無條件極值問題的極值必要條件，有

∂F/∂x=0

∂F/∂y=0

∂F/∂λ=0

解出可能的極值點（x,y）和乘數λ。

3.判別求出的（x,y）是否為極值點，通常由實際問題的實際意義判定。

簡單例子

g(x,y) = xy2

同時未知數滿足

2x2 + y2 = 1

因為只有一個未知數的限制條件，我們只需要用一個乘數λ.
f(x,y) = 2x2 + y2 − 1
Φ(x,y,λ) = g(x,y) + λf(x,y) = xy2+ λ(2x2 + y2 − 1)
將所有Φ方程的偏微分設為零，得到一個方程組，最大值是以下方程組的解中的一個：
y2+ 4λx = 0
2yx + 2λy = 0
2x2 +y2−1=0