Bezier曲線

數學上一直落在 convex hull 之內，不會有不可預期形狀是曲線。

Bezier曲線會落在 convex hull 之內，不會有不可預期形狀
Bezier曲線有整體修正(globally modification)之特性 – 也就是更動任一控制點會更改整條曲線之形狀
Bezier曲線所有混成函式的和為 1
Bezier曲線的反曲點之數少於控制多邊形之邊數
Bezier曲線與一平面的相交點之數 少於 該平面與控制多邊形之的相交點之數
<2>一、Bezier曲線定義：
給定n+1個控制頂點Pi(i=0~n) ，則Bezier曲線定義為：
P(t)=∑Bi,n(t)Pi t∈[0,1]
其中：Bi,n(t)稱為基函式。
Bi,n(t)=Ci nti (1-t)n-i
Ci n=n!/(i!*(n-i)!)
二、Bezier曲線性質
1、端點性質：
a）P(0)=P0, P(1)=Pn, 即：曲線過二端點。
b）P’(0)=n(P1-P0), P’(1)=n(Pn-Pn-1)
即：在二端點與控制多邊形相切。
2、凸包性：Bezier曲線完成落在控制多邊形的凸包內。
3、對稱性：由Pi與Pn-i組成的曲線，位置一致，方向相反。
4、包絡性：Pn (t)=(1-t)Pn-1 (t)+tPn-1 (t)
在CAD/CAM中，常採用Bezier曲線曲面，這樣便於理解曲線/曲面。但採用Bezier形式的曲線曲面不能精確的表示二次曲線和二次曲面，如球體和圓。將多項式改為有理形式，不僅能精確表示二次曲線和二次曲面，且增加了設計的自由度。重複的進行兩點線性插值，可以構造Bezier Curve。重複的進行兩點有理插值，可以構造有理Bezier Curve。
與控制頂點類似，有理Bezter曲線上的點可映射為Bezter曲線上的點或對應的控制多邊形上的點。在透視投影使用理形式與非有理形式產生相同投影時，有理Besier曲線曲面和有理B樣條曲線曲面繼承了Bezier曲線曲面和b樣條曲線曲面的簡單、優美的特性。這種形式，數學上的分析及幾何特性的掌握了解都比其他4D空間(wx、wy、wz、w)方法和單純的3D空間有理形式要簡單和容易。
現在，有理曲線曲面不僅僅用於表示和構造二次曲線曲面。對有理曲線曲面的權因子該如何選取往往不很清楚，而且有理形式的計算比非有理形式複雜，但是，由於其構造特性，現在人們已經開始考慮有理Bezter和有理B樣條曲線曲面的套用
參考資料：http://zhidao.baidu.com/q?word=bezier%C7%FA%CF%DF&ct=17&pn=0&tn=ikaslist&rn=10