前言
隨著計算機的廣泛使用與科學技術的迅速發展，科學計算已成為科學研究、工程設計中的一個重要的手段，它已成為與理論分析、科學試驗並駕齊驅的科學研究方法。掌握和套用科學計算的基本方法或數值計算方法，已不再僅僅是數學專業的學生和專門從事科學與工程計算工作的科研人員的必備知識，大量從事力學、物理學、航空航天、信息傳輸、能源開發、土木工程、機械設計、醫藥衛生及社會科學領域的科研人員和工程技術人員，也將數值計算方法作為各自領域研究的一種重要研究工具.因此，“數值計算方法”已逐漸成為理工科大學本科生和碩士研究生的必修課程.
本教材根據國家教委關於“數值計算方法”課程的基本要求，介紹計算機上常用的數值計算方法，不僅充實完善了線性代數方程組直接法和疊代法、非線性方程與方程組求根、函式的插值與逼近、數值微積分和微分方程數值解等內容，而且還增加了數值求解偏微分方程的有限差分法和有限元法.全書深入淺出，層次分明，部分理論證明和全書內容獨立，便於根據工科研究生32學時、48學時等不同需求進行取材和教學，也適合數學系高年級本科生64學時、72學時使用.該書在內容安排上，既注重理論的嚴謹性，又注重方法的實用性.每章配備了大量的例題與數值計算套用實例，並配有豐富的習題，以幫助讀者鞏固和加深理解有關內容.
本教材適合理工科大學碩士研究生“數值計算”或者“數值分析”課程及數學系高年級本科生 “計算方法”課程使用，也可供相關科技人員學習參考.
本書編寫得到哈爾濱工程大學研究生院大力支持，在此表示衷心的感謝．希望使用本書的廣大讀者和教師，對本書缺點和不足之處提出批評並指正．
編者2014年3月
目錄
第1章預備知識與誤差理論
1.1線性代數的一些基礎知識
1.1.1幾種常見矩陣及其性質
1.1.2矩陣的特徵值問題與對角化
1.1.3線性空間與內積空間
1.1.4向量範數
1.1.5矩陣範數與矩陣的運算元範數
1.2誤差
1.2.1誤差的來源與分類
1.2.2誤差與有效數字
1.2.3數值運算中的誤差估計
1.2.4病態問題與算法穩定性分析
1.2.5避免誤差危害與數值計算中算法設計
習題1
第2章解線性方程組的直接法
2.1高斯消去法
2.1.1基本高斯消去法
2.1.2列主元高斯消去法
2.2矩陣三角分解
2.2.1LU分解
2.2.2三對角方程組的追趕法
2.2.3對稱矩陣的三角分解
2.2.4平方根法
2.3矩陣條件數與病態方程組
2.3.1病態現象與條件數
2.3.2線性方程組的誤差分析
2.3.3病態線性方程組
2.4豪斯霍爾德變換與QR分解
習題2
第3章解線性方程組的疊代法
3.1經典疊代法的基本概念
3.1.1雅可比疊代法
3.1.2高斯賽德爾疊代法
3.1.3逐次超鬆弛疊代法
3.2疊代法的收斂性
3.3共軛梯度法
3.3.1最速下降法
3.3.2共軛梯度法
習題3
第4章非線性方程與方程組的疊代解法
4.1根的搜尋
4.2壓縮映像原理與不動點疊代法
4.2.1不動點疊代法的基本思想
4.2.2壓縮映像原理
4.2.3不動點疊代法的收斂性
4.3牛頓疊代法及其變形
4.3.1牛頓疊代法及其收斂性
4.3.2牛頓疊代法的修正
4.3.3重根的疊代法
4.4疊代收斂的加速方法
4.4.1埃特金加速收斂方法
4.4.2斯特芬森疊代法
4.5求解非線性方程組的疊代法
4.5.1多變數的不動點疊代法
4.5.2多變數的牛頓疊代法
習題4
第5章矩陣特徵值和特徵向量的疊代算法
5.1冪疊代法
5.1.1冪疊代法原理
5.1.2加速收斂的方法
5.1.3反冪法
5.2QR疊代法
5.2.1QR疊代法的原理
5.2.2黑森伯格矩陣
習題5
第6章插值法
6.1插值問題的提出
6.2多項式插值
6.3拉格朗日插值方法
6.3.1拉格朗日插值
6.3.2插值餘項
6.4牛頓插值多項式
6.4.1差商形式的牛頓插值多項式
6.4.2差商的基本性質
6.4.3差分形式的牛頓插值多項式
6.5埃爾米特插值多項式
6.5.1構造基函式方法
6.5.2待定係數法
6.5.3重節點差商法
6.6分段低次插值
6.6.1高次插值多項式的缺陷
6.6.2分段線性插值
6.6.3分段三次埃爾米特插值
6.7三次樣條插值
6.7.1三次樣條插值問題的基本提法
6.7.2三次樣條插值公式
6.7.3誤差階與收斂性
6.8B樣條插值
6.8.1B樣條函式
6.8.2m次樣條函式空間
6.8.3B樣條插值
習題6
第7章函式逼近與曲線擬合
7.1正交多項式
7.1.1正交函式族
7.1.2正交多項式的性質
7.1.3勒讓德多項式
7.1.4切比雪夫多項式
7.1.5切比雪夫多項式零點插值
7.2最佳平方逼近
7.2.1最佳平方逼近及其誤差分析
7.2.2用正交函式族作最佳平方逼近
7.3曲線擬合的最小二乘法
7.3.1最小二乘擬合問題
7.3.2非線性最小二乘擬合的線性化
7.3.3用正交多項式作最小二乘擬合
習題7
第8章數值積分與數值微分
8.1數值積分的基本概念
8.1.1插值型求積公式
8.1.2求積公式的代數精度
8.2牛頓科特斯求積公式
8.2.1牛頓科特斯公式
8.2.2幾種常用的牛頓科特斯求積公式
8.3復化求積公式
8.3.1復化梯形求積公式
8.3.2復化辛普森求積公式
8.3.3復化科特斯求積公式
8.4龍貝格積分方法
8.4.1後驗誤差估計
8.4.2變步長梯形公式
8.4.3理查森外推法
8.4.4龍貝格算法
8.5高斯求積公式
8.5.1高斯型求積公式的建立
8.5.2高斯求積公式的餘項
8.5.3高斯勒讓德求積公式
8.5.4高斯切比雪夫求積公式
8.6數值微分
8.6.1差商公式及誤差分析
8.6.2插值型求導公式
8.6.3三次樣條求導
習題8
第9章常微分方程的初值問題
9.1引言
9.2常微分方程初值問題的一般方法
9.2.1單步方法和多步方法
9.2.2顯式方法和隱式方法
9.2.3局部截斷誤差和整體截斷誤差
9.2.4線性多步法的相容性與收斂性
9.2.5線性多步法的穩定性與絕對穩定域
9.3常微分方程初值問題的高階單步法
9.3.1泰勒級數法
9.3.2龍格庫塔方法
9.4高階單步方法的性態分析及改進
9.5線性多步法——亞當斯方法和吉爾方法
9.5.1亞當斯巴什福思方法
9.5.2亞當斯莫爾頓方法
9.5.3吉爾方法
9.6一般線性多步方法的構造
9.7一階常微分方程組
9.8剛性問題
9.8.1隱式龍格庫塔方法
9.8.2吉爾方法
習題9
第10章求解微分方程的有限差分法
10.1解兩點邊值問題的差分方法
10.2在矩形區域上求解橢圓邊值問題的差分方法
10.2.1第一類邊值條件
10.2.2第二、第三類邊值條件
10.3在三角形格線上求解橢圓型方程的有限差分法
10.4橢圓差分方程的性態研究
10.5擴散方程的有限差分法
10.5.1擴散方程的離散
10.5.2古典顯格式
10.5.3古典隱格式
10.5.4克蘭克尼科爾森格式
10.5.5最高截斷誤差階的兩層加權平均格式
10.5.6理查森格式
10.6對流方程的差分格式
10.7波動方程的差分離散
習題10
第11章求解微分方程的有限元法簡介
11.1變分問題
11.1.1兩點邊值問題的變分形式
11.1.2泛函和變分
11.1.3兩點邊值問題的變分形式
11.1.4橢圓型方程的變分形式
11.2泛函的極值問題
11.2.1泛函的極值問題的存在性
11.2.2與橢圓型方程相應的泛函極值問題
11.2.3極值問題與變分問題之間的聯繫
11.3變分和泛函極值問題的近似求解
11.3.1變分和泛函極值問題的進一步討論
11.3.2里茨法
11.3.3伽遼金法
11.4解橢圓型問題的有限元方法
11.4.1基於變分問題的有限元方法
11.4.2基於泛函極值問題的有限元方法
習題11
習題答案或提示
參考文獻
