結構分析數值方法
正文
用微分方程的數值解法對工程結構進行分析計算的方法。主要的數值方法 在結構分析中使用的數值方法很多，其中以有限元法使用最廣，此外，還有差分法、變分法、加權餘量法及邊界元法等。這些方法都是將求解微分方程的問題化為求解代數方程的問題，進而求出未知函式（結構的位移、內力、應力等）的數值解。
有限元法 又稱有限單元法，是結構分析中適應性最強、套用最廣泛的數值方法。對於桿件結構的有限元法也就是結構矩陣分析法。在有限元法中，通過剖分所計算的區域，把一個連續體近似地用有限個在結點處相連線的單元所組成的離散結構來代替，並通過未知函式在各個單元上的分片插值，把連續體的分析化為單元的分析以及由單元集合成離散結構的分析。有限元法具有便於處理複雜邊界條件，便於分析複雜結構以及便於編制通用計算程式等優點。
差分法 結構分析中發展較早，套用較廣的數值方法，特別適用於形狀比較規則的結構。在用差分法求數值解時,亦須對計算區域作格線剖分,進而將在結構分析的支配微分方程中出現的導數或偏導數用差商代替，得到對應於原微分方程的差分方程。求解差分方程組，便得到未知函式在格線結點處的近似值。
變分法 用變分法進行結構分析時，首先根據變分原理(如最小勢能原理、最小余能原理)將求解結構分析中的支配微分方程的問題用等價的求解某種泛函極值的問題來代替，進而設定包含待定係數的滿足規定條件的試探解,將泛函的極值問題化為多元函式的極值問題,從而由極值條件獲得用以確定待定係數的代數方程組。解出待定係數後，便得到未知函式的近似解。由於試探解是對整個計算區域選取的,因而當邊界條件較複雜時,要使它預先滿足規定條件較為困難。
加權餘量法 又稱加權殘數法。將包含待定係數的試探解代入結構分析的支配微分方程和邊界條件，一般不能滿足而會出現餘量,選擇某種權函式與餘量相乘,列出在加權平均的意義上使餘量為零的方程式，就把求解微分方程的問題化為求解代數方程的問題。其中未知量就是試探解中的待定係數。按照權函式的不同，加權餘量法可分為子域法、矩量法、配點法、最小二乘法以及伽遼金法等。
邊界元法 首先將求解結構分析的支配微分方程的邊值問題轉化為求解邊界積分方程的問題，然後將計算區域的邊界離散化，再通過邊界上的未知函式在各個邊界單元上的分片插值，進一步轉化為求解代數方程組的問題。邊界元法的主要優點是：將問題的維數降低了一次，因而計算前處理工作量大為減少；能直接計算出工程上感興趣的邊界應力；特別便於解決與無限域或半無限域有關的問題。
結構分析套用軟體 20世紀50年代以來，由於電子計算機的發展使得結構分析數值方法的套用有了迅速發展，作為這種發展的一個重要標誌，已研製成功一大批結構分析數值方法的套用軟體，在各個工程領域中發揮了極大的作用。
結構分析數值方法的套用軟體按其適用程度可分為專用結構分析程式系統以及通用結構分析程式系統兩類。專用程式具有針對性強、使用方便、效率高等優點，對於一些需要大量重複計算的問題可以顯著縮短計算時間，降低計算費用。通用程式具有通用性強、功能較全面,靈活性、可靠性好，便於修改補充等優點，適用於大型複雜結構的各種力學分析計算工作。結構分析程式系統往往還具有較完善的前、後處理功能，便於用戶準備原始數據並獲得形象的計算成果。
結構分析程式系統一般採用模組式結構，每個模組實現某種功能並以一定的輸入、輸出內容與其他模組相連線。這些模組按它們的作用大致可分為數據輸入及數據自動生成模組、各種功能模組（例如形成線性代數方程組的係數矩陣與右端列陣、解線性代數方程組、解特徵值與特徵向量等）、成果整理及輸出、繪圖模組。鑒於模組的特性，程式編制人員在研製一個新的結構分析程式時，往往可以選用一些已有的模組，僅需新編制一部分新的模組，這就大大節省了編製程序的工作量。
套用 數值方法、結構試驗方法與求解析解是結構分析的三種主要方法。由於數值方法適應性強、套用方便、省錢省時，而成果又有足夠的精度，故在各種工程的結構分析中已得到廣泛套用。在水利工程中，由於水工結構的複雜性與重要性，結構分析數值方法得到了較多的套用與較快的發展。其中比較典型的課題有：大型複雜空間結構（如拱壩）的靜、動力分析；複雜地基與上部結構聯合作用的結構非線性分析；大體積混凝土的溫度場與蠕變溫度應力分析；地下結構與圍岩聯合作用的彈塑性分析；壩體形狀最佳化分析等。
發展方向 結構分析數值方法的發展主要有三個方向：①研究與改進適用於各種工程結構分析的數值方法以及它們的誤差、收斂性等理論問題；②研究各種數值方法的結合以及數值方法與結構試驗方法或解析解的結合，以期耗費最少的金錢與時間獲得最能反映實際情況的高精度的成果；③根據需要研製或改進結構分析套用軟體，特別是著重發展適用於小型計算機、微型計算機的高度模組化的結構分析程式系統。此外，為了使數值計算能更好地符合實際情況，有效、準確地測定反映結構靜、動力性態的各種計算參數已成為急待發展的課題。
參考書目
徐次達、華伯浩編著：《固體力學有限元理論、方法及程式》，水利電力出版社，北京，1983。
王磊、李家寶：《結構分析的有限差分法》，人民交通出版社，北京，1982。
C.A.布萊比亞著,武際可、傅子智譯:《工程師用的邊界單元法》，科學出版社，北京，1986。(C.A.Brebbia,The Boundary Element Method for Engineers,Pentech Press,London，1978.)
