簡介
線上性代數中,一個矩陣A的餘子式(又稱余因式)是指將A的某些行與列去掉之後所餘下的方陣的行列式。相應的方陣有時被稱為餘子陣。將方陣A的一行與一列去掉之後所得到的餘子式可用來獲得相應的代數餘子式,後者在計算方陣的行列式和逆時會派上用場。
嚴格定義
設A為一個 m×n 的矩陣,k為一個介於1和m之間的整數,並且k≤n。A的一個k階子式是在A中選取k行k列之後所產生的k個交點組成的方塊矩陣的行列式。
A的一個k階餘子式是A去掉了m−k行與n−k列之後得到的k×k矩陣的行列式。
由於一共有k種方法來選擇該保留的行,有k種方法來選擇該保留的列,因此A的k階餘子式一共有k^2個。
如果m=n,那么A關於一個k階子式的餘子式,是A去掉了這個k階子式所在的行與列之後得到的(n-k)×(n-k)矩陣的行列式,簡稱為A的k階餘子式。
n×n的方塊矩陣A關於第i行第j列的餘子式Mij是指A中去掉第i行第j列後得到的n−1階子矩陣的行列式。有時可以簡稱為A的(i,j)餘子式。
代數餘子式和伴隨矩陣
一個矩陣A的(i,j)代數餘子式:Cij 是指A的(i,j)餘子式Mij與(−1)^(i+j)的乘積:
Cij = (−1)^(i+j) MijA的餘子矩陣是指將A的(i,j)代數餘子式擺在第i行第j列所得到的矩陣,記為C。
C的轉置矩陣稱為A的伴隨矩陣,伴隨矩陣類似於逆矩陣,並且當A可逆時可以用來計算它的逆矩陣。