阿貝爾擴張:阿貝爾擴張(Abelian extension)是一類重要的 -百科知識中文網

定義

一個擴張稱為 阿貝爾擴張，如果是阿貝爾群。一個一次根式擴張是一個阿貝爾擴張。

相關概念

多重阿貝爾擴張

多重阿貝爾擴張(multiple Abelian extension)是由一串阿貝爾擴域構成的域擴張，設K是域F的擴域，若存在K的一串子域鏈

使得是的阿貝爾擴域，則稱K為F的 多重阿貝爾擴張，或 多重阿貝爾擴域。根式擴域、素階群擴張塔皆為多重阿貝爾擴域。

庫默爾擴張

庫默爾擴張(Kummer extension)是阿貝爾擴張的一種類型，設E是域F的一個阿貝爾擴域，若E/F的伽羅瓦群G=G(E/F)中元素的最大階數為m(m稱為G的指數)，並且F含m個不同的m次單位根，則E稱為F的 庫默爾m擴張；E稱為庫默爾域，例如，設F含本原n次單位根，且E為多項式

在F上的分裂域，則E是F的 庫默爾n擴張。此時，E是F的阿貝爾擴域且F的特徵數不能整除n，於是，在E內無重根，所以，E/F是可分的，從而是正規的。

分圓域擴張

分圓域擴張(cyclotomic field extension)是一類重要的阿貝爾擴張，設Ω是域F的代數閉包，其中間域K稱為F的一個分圓擴域，若K是通過對F添加某些單位根而生成的，此域擴張稱為 分圓域擴張。K是域F的有限次分圓擴域的充分必要條件為，存在一個本原單位根ξ∈K，使K=F(ξ)。對有理數域Q添加一個本原n次單位根ξ所得的分圓擴張Q(ξ)稱為圓的n分域，它是有理數域Q的φ(n)次阿貝爾擴域，其中φ(n)為歐拉函式。n分域來源於

其中，從而可將單位圓n等分。

克羅內克青春之夢

克羅內克青春之夢(Kronecker’sdream of youth)是代數數論中分圓域理論方面的一個問題。所謂分圓域，是指在有理數域上添加n次本原單位根而得到的數域。如果L/K是數域的阿貝爾擴張，且它的伽羅瓦群是阿貝爾群，那么L被稱為K的 阿貝爾擴張。如果K是有理數域Q的阿貝爾擴張，那么K被稱為阿貝爾數域。從伽羅瓦理論可知，分圓域的每個子域都是阿貝爾數域，反之，每個阿貝爾數域也必定是某個分圓域的子域，這就是著名的 韋伯-克羅內克定理。關於希爾伯特第12問題：能否對任意的代數數域K明顯地構造出K的全部阿貝爾擴張?上述定理給出了K=Q時的結果。1853年，30歲的德國數學家克羅內克猜想：每個虛二次域K的極大阿貝爾擴域是將K添加某種橢圓函式在全部有理點處的取值而得到的域，這就是所謂 克羅內克青春之夢。這一猜想引起許多學者的興趣，希爾伯特也曾做過重要工作。1920年，日本數學家高木貞治創立了 類域論，他把類域的定義作了推廣，證明了一個代數數域的任何阿貝爾擴張都可以表示為該數域上的類域。這樣一來，一般阿貝爾擴張的性質就十分清楚了，從而徹底解決了克羅內克的猜想。