阿貝爾變換

阿貝爾變換是一個恆等式,它在數學分析中有著廣泛的套用。通過阿貝爾變換,可以分別證明任意項級數收斂的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法

阿貝爾恆等式

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阿貝爾變換(英語:Summation by parts)也叫 分部求和法(英語:Abel transformation,有別於Abel transform)或 阿貝爾引理(英語:Abel's lemma)是求和的一種方法。設 和 為兩個數列,則有

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它被用來證明積分第二中值定理。

分部求和公式也可被寫成比較對稱的方式:

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積分第二中值定理

積分第二中值定理是與積分第一中值定理相互獨立的一個定理,屬於積分中值定理。它可以用來證明Dirichlet-Abel反常Riemann積分判別法。

內容

若g,(f·g)均在[a,b]上Riemann可積且f(x)在[a,b]上單調,則存在[a,b]上的點ξ使

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退化態的幾何意義

令g(x)=1,則原公式可化為:存在[a,b]上的點ξ使

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分部積分法

概述

分部積分法是種積分的技巧。它是由微分的乘法定則和微積分基本定理推導而來的。其基本思路是將不易求得結果的積分形式,轉化為等價的但易於求出結果的積分形式。

規則

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假設 與 是兩個連續可導函式。由乘積法則可知

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對上述等式兩邊求不定積分,移項整理,得不定積分形式的分部積分方程

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由以上等式我們可以推導出分部積分法在區間的定積分形式

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已經積出的部分 可以代入上下限 表示為以下等式,

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而以上這條等式可以通過函式求導乘積法則,以及微積分基本定理通過以下方式倒推並得以驗證

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在傳統的微積分教材里分部積分法通常寫成不定積分形式:

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如果更簡單些,令 、 ,微分 和 ,就可以得到更常見到的形式:

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注意,上面的原式中含有 g的導數;在使用這個規則時必須先找到不定積分 g,並且積分 必須是可積的。

在級數的離散分析中也可以用到類似的公式表達,稱為分部求和。

另一可用的表達方式可以將原表達方式里的因子僅寫成 f和 g,但缺點是引進了鑲套積分:

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這個表達方式只有當 f是連續可導而且 g是連續是才有效。

在黎曼-斯蒂爾吉斯積分和勒貝格-斯蒂爾吉斯積分有更多分部積分的公式。

提示:部分積分下面這樣更複雜一點的積分運算里也是有效的:

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套用

通過阿貝爾變換,可以分別證明任意項級數收斂的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法。

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