基本介紹
重極限是多元函式的一種極限,因為對n(≥2)元函式而言,極限
![重極限](/img/a/ccf/wZwpmL3IDOyQDOwQjNxADN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL0YzLxQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
中x=(x₁,x₂,…,x),a=(a₁,a₂,…,a)∈Rⁿ,x→a意味著同時有x₁→a₁,x₂→a₂,…,x→a,故稱相應的極限為 n重極限,作為多元函式特例的多重數列的極限也稱為 重極限 。如二重極限
![重極限](/img/3/9e8/wZwpmL0ATN2cjMyYzMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2MzL2QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![重極限](/img/e/afb/wZwpmL2gTM4YzNyUTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1EzL0gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![重極限](/img/6/c5b/wZwpmLxgzN2UTN3UjMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1IzLzYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![重極限](/img/6/e7a/wZwpmL0YzN2ITNygjMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4IzLwUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![重極限](/img/6/c5b/wZwpmLxgzN2UTN3UjMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1IzLzYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
證明重極限不存在常用的方法是證明沿兩種不同路徑極限不同(通常可取過點的直線)。例如證明重極限不存在,取直線y=kx,讓點(x,y)沿直線y=kx趨於(0,0)點此時有,則重極限不存在 。
求重極限
求重極限的常用方法有:
1)利用極限性質(四則運算法則,夾逼原理);
2)消去分母中極限為零的因子(有理化,等價無窮小代換);
3)利用無窮小量與有界變數之積為無窮小量 。
【例1】求下列極限
![重極限](/img/c/045/wZwpmL0IzN4UjNxQjMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0IzL4czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
(1);
![重極限](/img/2/60d/wZwpmL3IDMzcTN4gjMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4IzL1czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
解:(1)由於
![重極限](/img/7/bda/wZwpmL3cDM1kjNxQjMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0IzLwQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![重極限](/img/6/70a/wZwpmLxgTOzkzNzIjMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyIzLzUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
而,由夾逼原理知.
![重極限](/img/5/eb1/wZwpmLwcTM2cDN0AjMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwIzL2EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
(2).
解:(2)將分子有理化:
![重極限](/img/3/49c/wZwpmL0ITO0ADM4kTMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5EzLwQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
原式=
重極限與累次極限的關係
多元實變函式f(p)=f(x,x,...,x),當它的所有變數同時取極限時函式值的極限,這種極限稱為 重極限。當自變數x,x,...,x不是同時取極限,而是依一定的順序相繼取極限時,f(x,x,...,x)的極限,稱為 累次極限。
例如,當p(x,y)為平面中的點時,設聚點A的坐標為(a,b),則f(P)在P→4時的重極限為
![重極限](/img/2/d43/wZwpmL3YTOyczN4cjMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3IzL3IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
我們也把它記作
![重極限](/img/4/354/wZwpmL2YjM1IjNyAzMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwMzL0MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
而它的兩個累次極限則記為
![重極限](/img/5/0b4/wZwpmL2QDMyUTN2UjMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1IzLyIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
與
![重極限](/img/d/bcd/wZwpmLyEzM1IjN1MjMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzIzLyUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
重極限與累次極限的關係
(1)累次極限存在且相等時,重極限未必存在。
(2)重極限存在時,累次極限不一定存在。
![重極限](/img/d/9c8/wZwpmLxgzMyEjN3kTMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5EzL3czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![重極限](/img/5/0b4/wZwpmL2QDMyUTN2UjMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1IzLyIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
(3)若與都存在,則二者必相等。
![重極限](/img/d/9c8/wZwpmLxgzMyEjN3kTMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5EzL3czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![重極限](/img/b/e25/wZwpmLxQzN1gjM3EzMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxMzL4AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
(4)若與都存在,則三者必相等。
![重極限](/img/3/6fe/wZwpmLyQzM1IjNxQzMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzLyAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![重極限](/img/d/9c8/wZwpmLxgzMyEjN3kTMzATN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5EzL3czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
(5)若,則不存在。
注意
1.對於二個不同變數的極限過程在交換其次序的時候,應該加以注意,不是無條件地都可以交換次序的。
2.累次極限和重極限的關係也是相當複雜的,不能把重極限存在(或累次極限存在且相等)認為是累次極限相等(或重極限序在)的必要條件 。