西羅定理

Sylow-p子群定義

設p是一個質數；則可定義一個G的西羅p-子群(有時稱為p-西羅子群)，其為G的最大p-子群(即一個其為p-群且不為其他G之p-子群的純子群之子群)。所有給定一質數p之西羅p-子群所組成之集合有時會寫成Sylp(G)。在一種或另一種意思下皆為最大之子群的集合在群論中並沒有不一樣。這裡很不可思議的為在Sylp(G)內的例子，每個元素都會實際地同構於另一個元素；且此一性質可以被用來決定G的其他性質。

Sylow定理

第一Sylow定理：設G是以階為m*p^r的有限群，r >=1，p是素數，（p,m）=1，對每個i,1<=i<=r，G中含有p^i階的子群，並且G中每個p^i階的子群是某個p^(i+1)階子群的__PLACE_0_HOLDER__。
第二Sylow定理：設H是有限群G的一個p-子群，p是G的一個Sylow p-子群，則存在x屬於G，使得H包含於xPx^(-1)，特別地，G的任意兩個Sylow p-子群共軛。
第三Sylow定理：設G是一個有限群，p是一個素數，則G的Sylow p子群的個數n是|G|的一個因子，且n≡1(mod p)。

Sylow定理的證明

證明：考察G中所有p^i階子集Ω，則|Ω|=p^iCm*p^r。令G左乘作用於Ω，則對任意M∈Ω有群N固定之，所以MN=M即M為N的陪集合，故|N| | |M|所以|N|=p^x（x<=i）。由於任意軌道大於m*p^(r-i)均被p^(r-i+1)整除，所以所有的m*p^(r-i)軌道總數k≡|Ω|(mod p^(r-i+1))，由於此式對循環群也成立但循環群只有一個p^i階群，故有|Ω|≡1(mod p^(r-i+1))。因此k≡1(mod p^(r-i+1))，即存在p^i階群，定理一得證。
令上式i=r有k≡1(mod p)而每個軌道對應不同的p^r階群，故定理三得證。
考察如上的任一Sylow p子群P的左陪集合，讓H作用於它。由（m，p）=1有不動點陪集存在，即HgP=gP由此得HgPg^-1=gPg^-1，因此H∈gPg^-1，定理二得證。
至於定理一後半部分，由G關於HxH的重陪集分解的陪集數為1的分解數等於[N(H):H]，知p | [N(H):H]（N(H)為H的共軛固定群），又由Cauchy定理N(H)/H存在p階群K，即可得到H⊿KH且|KH|=p^i+1，至此Sylow定理證畢。

例子

引理：若G只有一個Slyow-p子群那么這個Slyow-p子群正規於G
證明：設P是G的一個Sylow-p子群，則對於G內任意一個元素g，g-1Pg仍是G的一個Sylow-p子群
而由Slyow定理，所有Sylow-p子群兩兩共軛
∴g-1Pg=P
∴P正規於G
例1： 15階群一定是循環群
證明：設G是一個群，且|G|=15
則Slyow-3子群的個數N3|5，且N3=1（mod 3），即N3=（1+3k）|5 ∴N3=1，即G只有一個Sylow-3子群
∴這個Sylow-3子群是G的正規子群
同理：G只有一個Sylow-5子群，且這個Sylow-5子群是G的正規子群
又∵（3,5）=1，而Sylow-3子群∩Sylow-5子群={e}，|Sylow-3子群|*|Sylow-5子群|=3*5=15=|G|
∴ab=ba其中a為Sylow-3子群生成元，b為Sylow-5子群生成元。（否則由aba^-1=aˊ，即b^-1aba^-1=b^-1aˊ這會推出bˊˊ=aˊˊ與其不相交矛盾。）
∴由交換群的階相乘性質ab的階位15，故其循環。
例2：350階群不是單群
證明：∵ 350 = 5²*14
∴由Slyow定理：Slyow-5子群的個數N5|14，且N5 = 1(mod 5)，即N5=（1+5k）|14
∴N5=1
∴由例①中的引理：G必然會有一個階為25的正規子群
∴350階群不可能為單群

參考文獻

Florian Kammüller and Lawrence C. Paulson. "A Formal Proof of Sylow's Theorem: An Experiment in Abstract Algebra with Isabelle HOL". University of Cambridge, UK. 2000. link
H. Wielandt. "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen". Archiv der Mathematik, 10:401-402, 1959.
《近世代數三百題》 馮克勤 章璞 編著　高等教育出版社
《近世代數講義》 楊勁根 編著　科學出版社