虎克定律

胡克定律(Hooke's Law)

即虎克定律

定義

胡克定律是力學基本定律之一。適用於一切固體材料的彈性定律，它表述為：在彈性限度內，物體的形變跟引起形變的外力成正比。這個定律是英國科學家胡克發現的，所以叫做胡克定律，

虎克定律圖示

又譯為虎克定律。

表達式

胡克定律的表達式為F=-kx或△F=-kΔx，其中k是常數，是物體的勁度（倔強）係數。在國際單位制中，F的單位是牛，x的單位是米，它是形變數（彈性形變），k的單位是牛/米。倔強係數在數值上等於彈簧伸長（或縮短）單位長度時的彈力。
彈性定律是胡克最重要的發現之一，也是力學最重要基本定律之一。在現代，仍然是物理學的重要基本理論。胡克的彈性定律指出：彈簧在發生彈性形變時，彈簧的彈力Ff和彈簧的伸長量（或壓縮量）x成正比，即F= -kx。k是物質的彈性係數，它由材料的性質所決定，負號表示彈簧所產生的彈力與其伸長（或壓縮）的方向相反。
為了證實這一定律，胡克還做了大量實驗，製作了各種材料構成的各種形狀的彈性體。
胡克定律套用的一個常見例子是彈簧。 在彈性限度內，彈簧的彈力 F 和彈簧的長度變化量 x 成線性關係，即：
F = -kx 式中k 是彈簧的勁度係數（或稱為倔強係數），它由彈簧材料的性質和幾何外形所決定，負號表示彈簧所產生的彈力與其伸長（或壓縮）的方向相反，這種彈力稱為回復力，表示它有使系統回復平衡的趨勢。滿足上式的彈簧稱為線性彈簧。
通過變形儲存在彈簧中的彈性勢能為：

該式可以理解為彈簧在壓縮過程中逐小段做負功的極限累加，數學上就是作用力對作用距離的定積分（注意勢能恆為正值）。
勢能函式在 U - x 平面內是一段拋物線。隨著彈簧沿 x方向變形（無論拉伸還是壓縮），勢能相應增加。非平衡狀態時的勢能總是高於平衡狀態（x = 0）時的勢能。所以彈簧力的作用總是使系統向勢能減少的方向運動，正如在半山上的球在引力的作用下總是要往山下（引力勢能小的地方）滾一樣。
如果將一塊質量懸掛在這樣一個彈簧的末端，然後對它施加一個軸向擾動（可以是敲打或拉開一段距離突然鬆手），質量和彈簧組成的系統將會以下列固有角頻率（又稱共振角頻率）開始振動：

若要對處於三維應力狀態下的材料進行描述，需要定義一個包含81個彈性常數的四階張量cijkl 以聯繫二階應力張量σij 和應變張量（又稱格林張量）εkl。

由於應力張量、應變張量和彈性係數張量存在對稱性（應力張量的對稱性就是材料力學中的剪應力互等定理），81個彈性常數中對於最一般的材料也只有21個是獨立的。
由於應力的單位量綱（力/面積）與壓強相同，而應變是無量綱的，所以彈性常數張量cijkl 中每一個元素（分量）都具有壓強的量綱。
對於固體材料大變形力學行為的描述需要用到新胡克型固體模型（neo-Hookean solids）和Mooney-Rivlin型固體模型。

歷史證明

Hooke law
材料力學和彈性力學的基本規律之一。由R.胡克於1678年提出而得名。胡克定律的內容為：在材料的線彈性範圍內，固體的單向拉伸變形與所受的外力成正比；也可表述為：在應力低於比例極限的情況下，固體中的應力σ與應變ε成正比，即σ=Εε，式中E為常數，稱為彈性模量或楊氏模量。把胡克定律推廣套用於三向應力和應變狀態，則可得到廣義胡克定律。胡克定律為彈性力學的發展奠定了基礎。各向同性材料的廣義胡克定律有兩種常用的數學形式：
σ11=λ（ε11+ε22+ε33）+2Gε11，σ23=2Gε23，
σ22=λ（ε11+ε22+ε33）+2Gε22，σ31=2Gε31，(1)
σ33=λ（ε11+ε22+ε33）+2Gε33，σ12=2Gε12，及
式中σij為應力分量；εij為應變分量（i，j=1，2，3）；λ和G為拉梅常量，G又稱剪下模 量；E為彈性模量（或楊氏模量）；v為泊松比。λ、G、E和v之間存在下列聯繫： 式（1）適用於已知應變求應力的問題，式（2）適用於已知應力求應變的問題。
根據無初始應力的假設，（f 1）0應為零。對於均勻材料，材料性質與坐標無關，因此函式 f 1 對應變的一階偏導數為常數。因此應力應變的一般關係表達式可以簡化為
上述關係式是胡克（Hooke）定律在複雜應力條件下的推廣，因此又稱作廣義胡克定律。
廣義胡克定律中的係數Cmn（m，n=1，2，…，6）稱為彈性常數，一共有36個。
如果物體是非均勻材料構成的，物體內各點受力後將有不同的彈性效應，因此一般的講，Cmn 是坐標x，y，z的函式。
但是如果物體是由均勻材料構成的，那么物體內部各點，如果受同樣的應力，將有相同的應變；反之，物體內各點如果有相同的應變，必承受同樣的應力。
這一條件反映在廣義胡克定理上，就是Cmn 為彈性常數。
胡克的彈性定律指出：在彈性限度內，彈簧的彈力f和彈簧的長度x成正比，即f= -kx。k是物質的彈性係數，它由材料的性質所決定，負號表示彈簧所產生的彈力與其伸長（或壓縮）的方向相反。
彈簧的串並聯問題
串聯：勁度係數關係1/k=1/k1+1/k2
並聯：勁度係數關係k=k1+k2
註：彈簧越串越軟，越並越硬
鄭玄-胡克定律
它是由英國力學家胡克(Robert Hooke, 1635-1703) 於1678年發現的,實際上早於他1500年前,東漢的經學家和教育家鄭玄(公元127-200)為《考工記·馬人》一文的“量其力,有三鈞”一句作註解中寫到:“假設弓力勝三石,引之中三尺,馳其弦,以繩緩擐之,每加物一石,則張一尺。”以正確地提示了力與形變成正比的關係,鄭玄的發現要比胡克要早一千五百年.因此胡克定律應稱之為“鄭玄——胡克定律.”