主要成就
董祐誠董祐誠少年時於梅瑴成《赤水遺珍》書中讀到杜氏三術，但惜其語焉不詳。後由友人處抄得載有杜氏三術和明安圖六術的所謂“杜氏九術全本”，乃深入探究，務求“立法之原”，乃成《割圓連比例圖解》3卷這一董氏之代表作。他從成連比例的幾何線段入手，研究全弧通弦和分弧通弦二者的關係，結果也發現全弧正矢和分弧正矢之間關係，並明確給出4個冪級數展開式，即所謂“立法之原”四術，可推出所謂“杜氏九術”。
董祐誠《割圓連比例圖解》著成後，方得見明安圖遺書抄本，由是始知兩人方法相同而具體步驟有異。董氏還在研究中發現，分割次數無限增多，則弧與弧可相互轉化。他把這種現象稱為“方圓互通”。他的見解相當於微積分。
項名達在《象數一原》中推廣了明安圖和董祐誠(1791～1823)的橢圓求周術的結果。董祐誠同明安圖
一樣，也用連比例的方法討論了全弧與分弧所對的弦的關係以及全弧和分弧的中矢（即該弧所張的弓形的高），得到四個冪級數公式。之後項名達進一步歸納為下列兩個公式:設сn和сm分別為圓內某弧с的 n倍和m倍
弧長， vn和 vm分別為相應的中矢， r為圓半徑，則有如圖所示的公式。
史籍記載
董祐誠（1791—1823），初名曾臣，字方立，江蘇陽湖人，董基誠之弟。少年時工為駢體文詞，繼通數理、輿地之學。嘉慶舉人。著有《蘭石齋駢體文》一卷，《董方立遺書》十六卷，《栘華館駢體文》甲集二卷、乙集二卷等傳世。
劉大觀《蘭石齋駢體文》序
余於乾隆年間詩人，獨推許武進[1]黃仲則[2]。入都，與內閣學士翁覃溪[3]先生論仲則詩，洽於所見，遂以覃溪刪定五百首刊於京師，令海內躭吟之士，知昆陵有此人，而其人有此磊落軒昂之筆。是時，昆陵之宦於都下者，有洪編修[4]稚存[5]、孫部曹[6]淵如[7]、趙舍人[8]味辛[9]，皆與予善。花晨月夕，作文字飲。每飲輒嘆息仲則豐於文藻，而嗇於遇合，卒客死於飢驅。予《題仲則集後》云：“不知造物有何親？獨將此筆與此人！不知造物有何恨？獨使斯人受奇困！”覃溪先生賞之，以為仲則不死。
今陽湖[10]董君方立[11]，亦昆陵後起之秀也。戊寅（1818）赴北闈，以第四人獲雋試春官。數見黜，年逾三十，遽捐館[12]舍，遺《蘭石齋》駢體文二十五首。其同年友方子彥聞刊於懷慶，蓋憐其才，不忍使其筆精墨髓與昂藏七尺軀同埋沒於人間世也。
予觀其集中諸作，有以縱橫恣肆寫其襟臆之超曠者，有以酸楚悲涼寫其平生抑鬱牢騷者。其超曠得之於天，其抑鬱牢騷厄之於境。厄於境，如驊騮騄駬負重危途，昂首一鳴，聊以舒其傲岸不平之氣。氣竭，而精華亦為之蕭索，此其所以不壽也。
或謂：“古來之工于衡文者，莫如玉溪生[13]之《論元漫叟[14]》，如‘太虛無狀，大賁無色，寒暑攸出，鬼神有職’[15]。方立集中有是耶？”
曰：“無！”
曰：“若以一國換人一笑，若以萬世換人一朝[16]，方立集中有是耶？”
曰：“無！”
曰：“玉溪所云：‘筆力所不到’，彥聞奚以刊之乎？”
曰：“子不聞‘若大壓然，不知其興；若大醉然，不知其醒。重屋深宮，但見其脊，牽綷長河，不知其載’乎？若是者，方立集中悉有之，亦難能而可貴者也。夫駢體文非制藝所需，熱中於科第者率皆不暇為，亦不能為。方立於人所不能為而為之，其自命為何如耶？聞方立所著有《長安志》三十卷、《〈水經注〉疏證》三卷。及天文、歷術、算數、古今輿地沿革，皆精於研索，足以追配古人。或有古人之所疏，而方立密之；古人所涉者淺，而方立獨深。嗚呼！傑矣！彼光韜秘枕未出以問世者，皆其肊膏心液所凝鍊，而抵死方休者也！安得文字之交復有慷慨如彥聞者，以盡發其底蘊乎？”
[1]武進：市名。在江蘇省常州市郊，長江、太湖和滆湖之間。
[2]黃景仁（1749—1783），清詩人。字漢鏞，一字仲則，號鹿菲子，江蘇武進人。家貧，早年奔走四方，以謀生計。後捐為縣丞，未補官而卒。詩學李白，所作多抒發窮愁不遇、寂寞悽愴的情懷，也有憤世嫉俗的篇章。七言詩較有特色。亦能詞。有《兩當軒全集》。
[3]翁方綱（1733—1818），清書法家、文學家、金石學家，字正三，號覃溪，晚號蘇齋，直隸大興（今北京市）人。官至內閣學士。著有《兩漢金石記》、《漢石經殘字考》、《焦山鼎銘考》、《蘇米齋蘭亭考》、《復初齋詩集》、《復初齋文集》、《石洲詩話》等。
[4]編修：官名。明清之翰林院編修，以一甲二三名進士及庶吉士之留館者充任，無定員，亦無實際職務。
[5]洪亮吉（1746—1809），清經學家，文學家。字君直，一字稚存，號北江，江蘇陽湖（治今常州）人。著有《春秋左傳詰》、《洪江北全集》。
[6]部曹：明清對各部司官的通稱。
[7]孫星衍(1753-1818)，清代藏書家、目錄學家。字淵和，號伯淵。陽湖(今江蘇武進)人。少年時與楊芳燦、洪亮吉、黃景仁以文學見長，袁枚稱他為“天下奇才”。於經史、文字、音訓、諸子百家，皆通其義。乾隆五十二年(1787)進士，授翰林院編修，充三通館校理。乾隆六十年(1795)授山東兗沂曹濟道，次年補山東督糧道。嘉慶十二年(1807)任山東布政使。博極群書，勤於著述。阮元曾聘他為“詁精經舍”教習及主講鐘山書院，以學術淵博稱。性嗜聚書，聞人藏有善、秘本，借抄無虛日。金石文字拓本，古鼎彝書畫，無不考其源委。家有藏書樓“平津館”，貯書極富，以校勘精審見稱．編撰有《孫氏家藏書目》，分外編3卷、內編4卷。《廉石居藏書記》1卷、《平津館鑑藏書籍記》3卷，續編1卷，補遺1卷。嘉慶五年(1800)，刊行《祠堂書目》。輯刊文獻甚多，嘉慶中刻有《岱南閣叢書》、《平津館叢書》。《岱南閣叢書》主要收集自著詩文集和校訂的《古文尚書》、《孫子》和地理，刑律方面的古籍。《平津館叢書》10集32種，主要為輯校的諸子、醫學、歷史等方面的古籍，選擇精嚴，校勘精審。著述宏富，有《尚書今古文註疏》、《寰宇訪碑錄》、《周易集解》、《考注春秋別典》、《爾雅廣雅訓詁韻編》、《晏子春秋音義》、《金石萃編》、《史記天官書考證》、《建立伏博士始末》、《明堂考》、《續古文苑》、《平津館文稿》、《芳茂山人詩錄》、《倉頡篇》等。
[8]舍人：明清時於內閣中的中書科，設有中書舍人，其職責僅為繕寫文書。
[9]趙懷玉（1747—1823），字億孫，號味辛，又字印川，江蘇武進人。乾隆三十年（1765）春，高宗四巡江、浙，奏賦行在。四十五年，又南巡，召試，賜舉人，授內閣中書。出為山東青州府海防同知，署登州、兗州知府。丁父憂歸，遂不復出。李廷敬延葺《宋遼史詳節》，阮元、伊秉綬復延《葺揚州圖經》。後主通州石港講席六年，諸生極愛戴之。懷玉性坦易，工古文詞；詩與孫星衍、洪亮吉、黃景仁齊名，時稱“孫、洪、黃、趙”。著有《亦有生齋文集》五十九卷，續集八卷並行於世，見《清史列傳》。
[10]陽湖：今江蘇常州。
[11]董祐誠（1791—1823），初名曾臣，字方立，江蘇陽湖人，董基誠之弟。少年時工為駢體文詞，繼通數理、輿地之學。嘉慶舉人。著有《蘭石齋駢體文》一卷，《董方立遺書》十六卷，《栘華館駢體文》甲集二卷、乙集二卷等傳世。
[12]捐館：捐棄所居之館舍。舊時因以為死亡的諱辭。
[13]李商隱（813-858），字義山，號玉溪生，又號樊南生，唐懷州河內（今沁陽）人。
[14]元結(719—772)，唐代文學家。字次山，號漫叟、聱叟 。河南魯山人。
[15] 李商隱《元結文集後序》云：“次山之作，其綿遠長大，以自然為祖，元氣為根，變化移易之。太虛無狀，大賁無色，寒暑攸出，鬼神有職。……若大壓然，不覺其興；若大醉然，不覺其醒。其疾怒急擊，快利勁果，出行萬里，不見其敵。……死而更生，夜而更明，衣裳鍾石，雅在宮藏。其正聽嚴毅，不滓不濁，如坐正人，照彼佞者。……其總旨會源，條綱正目，若國大治，若年大熟。……吁！不得盡其極也。而論者徒曰次山不師孔氏為非。嗚呼，孔氏於道德仁義外有何物？百千萬年，聖賢相隨於塗中耳。”
[16] 李商隱《唐容州經略使元結文集後序》：“其詳緩柔潤，壓抑趨儒，如以一國買人一笑，如以萬世換人一朝。”
董祐誠，字方立，初名曾臣，江蘇陽湖人。
幼穎異，末弱冠已與兄基誠騰踔士林。舉嘉慶戊寅順天鄉試。
既負經世才，衣食奔走，足跡半中國。凡夫山川形勢，政治利弊，采覽所及，歷歷識之不忘。少時，喜為沈博絕麗之文。稍長，更肆力於律歷輿地名物諸學。涉獵益廣，致力著述。尤善深沉之思，書之號鉤棘難讀者，過眼無不通曉。復為出新意，闡隱曲，補罅漏。專門名家殫數十年之功而探索者，晨夕間已突然上之。嘗取西士杜德美圓徑求周諸術反覆推解，知即圓容十八觚之術，引伸類長，求其累積，實兼差分之列衰，商功之堆垛，而會通以盡勻股之變。乃為分圖著解，並立弦矢互求四術，成《割圓連比例術圖解》三卷。斜弧三邊求角，薛儀甫、梅文穆二家義法未顯，知此術之專為對數立也，因別為圖解，更補求又一角術，成《補術》一卷。知橢圓如縱方，精圓有大徑有小徑有周有積，必知其二，然後可求其餘，猶縱方之勾股形，成《橢圓求周術》一卷。得求諸乘方所成之方錐堆術，復以縱方堆推之，而得諸乘方所成之縱方誰術，成《堆垛求積術》一卷，又以錢大昕《三統術衍》雖詳核，然於創術之原猶欠具備，為依太初元年日月五步比而列之，入以演撰之法，成《衍補》一卷。
惟素矜抱負，本欲有所施於世，特以偏曲一節著，非其志也。董故世胄，值中否，及三試禮部報罷，意不能無拂郁；又所業卒隱賾深微之書，讀之疲神，雖精慧過人，而用之無度，坐是卒就衰耗，年僅三十三，中道奄然，論者惜之。他著尚有《水經注圖說》殘稿四卷，文甲集二卷，乙集二卷，《蘭石詞》一卷。
