自然同態

自然同態,英文名是natural homomorphism of a group,亦稱標準同態或典範同態。群到其商群上的一種特殊同態。 群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。商群亦稱因子群,又稱模H的剩餘類群。由正規子群的陪集組成的一種群。

介紹

自然同態(natural homomorphism of a group)亦稱標準同態或典範同態。群到其商群上的一種特殊同態。若N是群G的一個正規子群,則存在G到商群G/N上的一個映射f:g↦Ng.這個映射是G到G/N的滿同態,稱為自然同態,其中:

Imf=G/N, ker f=N.

同態

設E與F為兩個群胚,它們的合成法則分別記為⊥與⊤。稱從E到F中的映射f是群胚同態,如果對於E的任一元素偶(x,y),有:

自然同態 自然同態

設E與F為兩個么半群(兩個群),稱從E到F中的映射。f是么半群(群)的同態,如果f是群胚的同態,且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在群的情況下,後一個條件是自然滿足的,但是從加法么半群N到乘法么半群N的映射x↦0是群胚的同態, 而並不因此就是么半群的同態)。

設G為乘法群,而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。

設A與B為兩個環(兩個體),稱從A到B中的映射f是環(體)的同態,如果f是加法群的同態,且為乘法么半群的同態。這就是說,對A的任一元素偶(x,y),有:

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y),

並且f將A的單位元變成B的單位元。

例如,設n為非零自然數;使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態,如果它是線性映射,並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態。

例如,設E為交換體K上的非零有限n維向量空間,而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射,如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣,則這一映射是酉代數的同態。

同態的概念能用抽象的方式加以推廣。

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合,a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”,運算結果稱為“乘積”)滿足:

(1)封閉性,a·b∈G;

(2)結合律,即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b,在G中存在惟一的元素x,y,使得a·x= b,y·a=b,則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如,所有不等於零的實數,關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法),構成一個群。

滿足交換律的群,稱為交換群。

群是數學最重要的概念之一,已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱,就存在群。例如,可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質,來定義各種幾何學,即利用變換群對幾何學進行分類。可以說,不了解群,就不可能理解現代數學。

1770年,拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時,首先引入群的概念,而它的名稱,是伽羅華在1830年首先提出的。

商群

商群亦稱因子群,又稱模H的剩餘類群。由正規子群的陪集組成的一種群。設H是群G的一個正規子群,G關於H的所有左陪集所成的集合G/H={xH|x∈G}按照如下的乘法:(xH)(yH)=(xy)H成為一個群,稱為G關於H的商群。由於H是正規子群,xH=Hx,所以G/H也是H的右陪集所成的集合,因此,無論用左陪集還是右陪集來定義商群,結果是一致的。當G是加法群時,G/H也常寫成G-H,稱為差群。

設G為群,R為與G的法則相容的G中之等價關係。 賦以商法則,則商集G/R是群,稱在G對R的商群。G的中性元素的等價類是G的正規子群。反之,對G的任一正規子群G′,由滿足:

自然同態 自然同態

的偶(x,y)定義的關係R是與G的法則相容的等價關係。商群G/R叫做G對G′的商群,記為G/G′。

正規子群

亦稱不變子群。一類重要的子群。在共軛作用下不變的子群。設H是群G的一個子群,若對任意的x∈G有Hx=xH,則稱H是G的一個正規子群,記為HG。子群H是G的正規子群的充分必要條件是對於任意的h∈H,x∈G,有xhx∈H.{e}和G是G的兩個正規子群,稱為G的平凡正規子群。

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