介紹
自然同態(natural homomorphism of a group)亦稱標準同態或典範同態。群到其商群上的一種特殊同態。若N是群G的一個正規子群，則存在G到商群G/N上的一個映射f：g↦Ng.這個映射是G到G/N的滿同態，稱為自然同態，其中：
Imf=G/N， ker f=N.
同態
設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：
自然同態設E與F為兩個么半群(兩個群)，稱從E到F中的映射。f是么半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在群的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法么半群N到乘法么半群N的映射x↦0是群胚的同態， 而並不因此就是么半群的同態)。
設G為乘法群，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。
設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態。這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有：
f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，
並且f將A的單位元變成B的單位元。
例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態。
例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。
同態的概念能用抽象的方式加以推廣。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群；時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
商群
商群亦稱因子群，又稱模H的剩餘類群。由正規子群的陪集組成的一種群。設H是群G的一個正規子群，G關於H的所有左陪集所成的集合G/H={xH|x∈G}按照如下的乘法：(xH)(yH)=(xy)H成為一個群，稱為G關於H的商群。由於H是正規子群，xH=Hx，所以G/H也是H的右陪集所成的集合，因此，無論用左陪集還是右陪集來定義商群，結果是一致的。當G是加法群時，G/H也常寫成G-H，稱為差群。
設G為群，R為與G的法則相容的G中之等價關係。 賦以商法則，則商集G/R是群，稱在G對R的商群。G的中性元素的等價類是G的正規子群。反之，對G的任一正規子群G′，由滿足：
自然同態的偶(x，y)定義的關係R是與G的法則相容的等價關係。商群G/R叫做G對G′的商群，記為G/G′。
正規子群
亦稱不變子群。一類重要的子群。在共軛作用下不變的子群。設H是群G的一個子群，若對任意的x∈G有Hx=xH，則稱H是G的一個正規子群，記為HG。子群H是G的正規子群的充分必要條件是對於任意的h∈H，x∈G，有xhx∈H.{e}和G是G的兩個正規子群，稱為G的平凡正規子群。
