引言
自守函式論是十九世紀群論在函式論中的套用
自守函式理論不但在分析中是重要的，而且在某些工程問題上都有直接重要的套用，其理論本身是幾何學、代數學、複分析、微分方程解析理論交叉的產物，體現了數學的統一性。本文目的是考察這一偉大理論的歷史背景、發展過程以及現狀，從內史和微觀方法論的角度進行系統綜合地研究，以期給現代數學研究提供借鑑意義。
從理論發展來看，自守函式理論的淵源來自兩個方面，一個是微分的一個是積分的。
18世紀是分析的世紀，人們在大力拓展微積分發明而產生的諸多分支之時，第一個目標就是擴展微積分的主要內容，比如說發展微積分的技巧。James Bernulli, Leibniz, Euler等在研究鐘擺、拉桿等彈性問題時遇到了類似於求橢圓和雙曲線弧長中的那些無理函式積分，成為橢圓積分。這些問題經常遇到，因而吸引了許多數學家來研究。Legendre是這方面的權威，在分析橢圓積分性質方面做了重要的工作。Gauss1801年的《算術研究》也有一些研究。挪威數學家Abel和法國數學家Jacobi，兩人幾乎同時（1827）獨立得到了從橢圓積分的反函式來著手研究的關鍵性想法，即研究橢圓函式。他們兩人進行了一系列的開創性工作，如發現橢圓函式的雙周期性、引進了橢圓積分的反演、引入theta函式構造橢圓函式等等。進一步發展就明顯體現出自守函式的前身了。具有代表性的是Weierstrass的研究中，用theta級數構造橢圓函式時，發現了與模群相伴的自守性質的函式，可以用它來構造出所有的Weierstrass類橢圓函式。Gauss的遺稿中發現了對此問題的深入研究。
微分方面那個時代的實踐中（風帆、振動薄膜、行星運動）提出了許多類型的二階線性微分方程（James Bernulli, Bessel, D.Bernulli, Euler, Fourier, Poisson, Legendre, lame, Weber, Gauss）。其中最重要的就是超幾何方程，它是以0、1和無窮作為奇點的二階線性常微分方程。Euler給出了級數解；Gauss仔細研究了收斂性，深刻了解了其本性。十九世紀中期常微分方程的研究走上了一個新的歷程―――奇點理論。Briot和Bouquet發現一階微分方程奇點鄰域內有特別的級數形式解。奇點理論很快就被推廣到高階情形。為了知道解在奇點內的性態，Riemann提出了一個天才的思想（1857）：從關於單值群的知識導出這些函式的性質。Fuchs以此為指導，從1865年起研究n階微分方程問題，他把整個微分方程的理論普遍移植到復變數情形。
代數方面Kelin的發展的幾何函式論中，涉及到有限變換群，推廣到無限也導致自守函式
克萊因和龐加萊的工作
Kelin關於自守函式的研究始於1874年，當他看到Poincaré 1881年初發表的3篇關於自守函式的短文時，開始與之通信。從1882年9月到1882年9月，兩人一共寫了25封信，進行了友好的“競爭”，一直到1882年Klein病倒為止。
Klein 閱讀廣泛； 繼承前人成果 單值函式及其上的線性變換； 連續群； Riemann方式 單值化
Poincaré 孤立研究； 開創性 微分方程 函式群與基本域； 引入非歐度量 微分方程的解； 單值化
Poincaré 1878年博士論文中以及到卡昂大學工作後考慮了複數域上的微分方程理論，這個問題是當時常微分理論的中心話題。此刻的權威人物是Fuchs，他於1866年成功刻畫出一類解有固定奇點的線性微分方程，此後解決了一系列的相關問題，包括某些橢圓積分和模函式問題。受Fuchs 1880年的一系列論文的吸引，Poincaré開始研究Fuchs理論，並且在與Fuchs的通信中產生了自守函式理論。Poincaré的工作簡單概括如下：
刻劃了函式群同基本域之間的關係
以橢圓函式理論為指導，發明了一類新的自守函式――Fuchs函式
把分式線性變換擴充到複數域上，得到了Klein群
用新的自守函式理論來解決僅有正則奇點的任意階具有代數係數的常微分方程
用自守函式理論導出一般的單值化定理
Klein關於代數函式的幾何理論涉及到有限變換群，推廣到無限離散變換群上便導致自守函式。他於1874年起開始研究Riemann的著作，自稱是他的學生，把其的重要的幾何思想融入複變函數論，同時研究模函式理論。Klein的主要工作為：
把方程論的主要思想幾何化
引進模函式的概念l 研究線性分式變換群Г同基本域的關係
研究Г的同餘子群同數論的某些聯繫
證明了邊界圓定理，即一般的單值化定理
傳播與發展
（1）國際上傳播伴隨著Poincaré和Klein的工作，一個特定的時期結束了。他們開闢了自守函式論的方向，其後的發展是在兩個人奠定的基礎上完善、拓展，進一步研究艱深的Klein群和Klein函式，由單復變推廣到多復變。其影響力可以從Hilbert的23個問題上可見一斑：第21、22問題就是關於自守函式的。
（2）自守函式在中國華羅庚是中國解析數論、典型群、矩陣幾何、自守函式與多複變函數論等方面研究的創始人與開拓者。他在《美國年刊》（1944）上發表的“矩陣變數的自守函式理論”可以說是現在發展很熱的“辛幾何”的先導。1946年華先生赴美普林斯頓高級研究所，同年在美國《數學年刊》上發表的“多複變函數的自守函式”成為經典之作，為研究自守函式的名家必引用。多復變自守函式理論已經成為現代數學最重要的研究方向之一。
