矩陣的線性運算
矩陣的加法和數乘運算，統稱為矩陣的 線性運算。
矩陣加減法
定義 設
線性運算
線性運算
線性運算是兩個 型矩陣，則矩陣
線性運算
線性運算
線性運算稱為 和 的和，記為
線性運算矩陣的加法就是矩陣對應元素相加，當然，相加的矩陣必須要有相同的行數和列數，即只有同型矩陣方可相加。
由於矩陣加法歸結為它們元素的加法，即數的加法，故不難驗證矩陣加法滿足：
線性運算(1)結合律：
線性運算(2)交換律：
線性運算明顯地，對零矩陣，有 。
定義2 矩陣
線性運算 線性運算
線性運算稱為矩陣 的負矩陣，記為。
線性運算顯然，有 一0，從而可定義矩陣減法為
線性運算 線性運算 線性運算我們可以將負矩陣 看做是實數一1和矩陣 相乘所得，從而抽象出一般數和矩陣的數量乘法。
矩陣數量乘積
定義 矩陣
線性運算 線性運算
線性運算
線性運算 線性運算 線性運算 線性運算稱為矩陣 與數 的數量乘積，記為。換句話說，用數 乘以矩陣 ，就是把矩陣的每個元素都乘上 。
不難驗證。數量乘積滿足下列運算規律：
線性運算(1) (結合律)；
線性運算(2) ；
線性運算(3) 。
向量的線性運算
向量的加法和數乘運算，統稱為 向量的線性運算。
向量的加減法
線性運算
線性運算
線性運算
線性運算設n維向量 ， ，規定向量 與 的和為
線性運算 線性運算 線性運算規定向量 與 的差為
線性運算向量的數乘
線性運算 線性運算 線性運算
線性運算設n維向量 ，各分量乘以數k所構成的向量，稱為數k與向量的數量乘積，簡稱數乘，記做 ，即
線性運算容易驗證得到：
線性運算(1 ) （加法交換律）；
線性運算(2) （加法結合律）；
線性運算(3) ；
線性運算(4) ；
線性運算(5) （數乘分配律）；
線性運算(6) （數乘分配律）；
線性運算(7) （數乘結合律）；
線性運算(8) 。
線性運算 線性運算上述定義與性質是針對行向量而言的，當與為列向量時，有類似結論。
