概念
半線性映射是線性映射概念的推廣。設V與V′分別是域P與P′上的線性空間，ρ為P與P′的同構，若V與V′的映射φ滿足條件：
1.對任意α，β∈V有φ(α+β)=φ(α)+φ(β);
2.對任意α∈V，a∈P有φ(aα)=aφ(α);
則稱φ為關於ρ的半線性映射，其中a表示ρ(a)。當V=V′，P=P′時，φ稱為半線性變換。當P=P′且ρ是恆等同構時，φ就是線性映射。
線性映射
線性映射亦稱同態或線性同態。線性代數的中心內容和基本概念之一。是同一域上兩個線性空間V與W之間具有線性性質的映射，即V到W的映射φ，若對任意α，β∈V，k∈P，滿足條件：
1.φ(α+β)=φ(α)+φ(β);
2.φ(kα)=kφ(α);
則稱φ為V到W的線性映射，或稱為線性運算元。把V中每一元素映射成W中零元素的映射是線性映射，稱為零映射。若φ是雙射，則稱φ為V與W的線性同構，同時稱φ為線性空間的同構映射。建立了線性同構的兩個線性空間，稱為同構的線性空間。當W=P時，V到P的線性映射也稱為線性函式。
域P上線性空間V到W的全體線性映射的集合，記為Hom(V，W)。在Hom(V，W)中可以引入加法與純量乘法，若對任意的φ，ψ∈Hom(V，W)，任意α∈V，k∈P，規定：
φ+ψ： (φ+ψ)(α)=φ(α)+ψ(α)，
kφ： (kφ)(α)=kφ(α)，
則Hom(V，W)構成域P上的線性空間。
線性空間
線性空間亦稱向量空間。它是線性代數的中心內容和基本概念之一。設V是一個非空集合，P是一個域。若：
1.在V中定義了一種運算，稱為加法，即對V中任意兩個元素α與β都按某一法則對應於V內惟一確定的一個元素α+β，稱為α與β的和。
2.在P與V的元素間定義了一種運算，稱為純量乘法(亦稱數量乘法)，即對V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對應V內惟一確定的一個元素kα，稱為k與α的積。
3.加法與純量乘法滿足以下條件：
1) α+β=β+α，對任意α，β∈V.
2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，對任意α，β，γ∈V.
3) 存在一個元素0∈V，對一切α∈V有α+0=α，元素0稱為V的零元.
4) 對任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β稱為α的負元素，記為-α.
5) 對P中單位元1，有1α=α(α∈V).
6) 對任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).
7) 對任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.
8) 對任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，
則稱V為域P上的一個線性空間，或向量空間。V中元素稱為向量，V的零元稱為零向量，P稱為線性空間的基域.當P是實數域時，V稱為實線性空間。當P是複數域時，V稱為複線性空間。例如，若V為三維幾何空間中全體向量(有向線段)構成的集合，P為實數域R，則V關於向量加法(即平行四邊形法則)和數與向量的乘法構成實數域R上的線性空間。又如，若V為數域P上全體m×n矩陣組成的集合M(P)，V的加法與純量乘法分別為矩陣的加法和數與矩陣的乘法，則M(P)是數域P上的線性空間。V中向量就是m×n矩陣。再如，域P上所有n元向量(a，a，…，a)構成的集合P對於加法：(a，a，…，a)+(b，b，…，b)=(a+b，a+b，…，a+b)與純量乘法：λ(a，a，…，a)=(λa，λa，…，λa)構成域P上的線性空間，稱為域P上n元向量空間。
同構
兩個數學系統(例如兩個代數系統)，當它們的元素及各自所定義的運算一一對應，並且運算結果也保持一一對應，則稱這兩個系統同構，記為≌。它們對於所定義的運算，具有相同的結構。例如，十進制數與二進制數是同構的。
建立同構關係的映射，稱為同構映射。例如，當映射為一一映射，並且對應元素關於運算保持對應時，就是同構映射。
同構是數學中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構的、似乎與它不相關的、已經解決的問題，從而使原問題方便地得到解決。雖然數學發展得越來越複雜，但利用同構概念，不僅使數學得到簡化，而且使數學變得越來越統一。表面上似乎不同，但本質上等價的結果，可以用統一的形式表達出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數學分支中與它同構的幾十個假設，也同時得到了證明。
