定義
定義1 設x,x,…,x是線性空間E的有限個向量,x∈E,如果存在數c,c,…,c使得
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則稱x可由x,x,…,x 線性表示,或x是x,x,…,x的 線性組合。
舉例
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例1 任意一個n維向量都是向量組
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的一個線性組合。因為
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例2 由定義1可以立即看出,零向量是任一向量組的線性組合(只要取係數全為0就可以了)。
相關概念
等價向量組
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定義2 如果向量組中每一個向量都可以由向量組線性表示,那么向量組就稱為可由向量組線性表示。如何兩個向量組互相可以線性表示,它們就稱為 等價。
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例如,設則向量組與向量組是等價的。
註:向量組之間的等價滿足反身性、對稱性和傳遞性。
線性相關
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定義3 如果向量組中有一個向量可以由其餘的向量線性表示,那么向量組稱為 線性相關的。
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例如,向量組是線性相關的,因為
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註:由定義3可知,任意一個包含零向量的向量組一定是線性相關的。
重要性質
向量組B=(β,β,……,β)能由向量組A=(α,α,……,α)線性表示的充要條件是矩陣A=(α,α,……,α)的秩等於矩陣(α,α,……,αB)的秩。
1.B=(β,β,……,β)
2.向量組 B能由向量組 A線性表示,則向量組 B的秩不大於向量 A的秩。反之不一定成立。
3.① 一個向量可由向量組中其餘向量線性表示,前提是這個向量組線性相關。
②線性相關的向量組中並不是任一向量都可由其餘向量線性表示;但當其餘向量線性無關時,這個向量必可由其餘向量線性表示。
4.零向量可由任一組向量線性表示。
5.向量組 α,α,……,α 中每個向量都可由向量組本身線性表示。
6.任一 n維向量 α =(α,α,……,α)都可由 n維單位向量組線性表示。
7.設 α,α,……,α線性無關 ,而 α,α,……,αß線性相關,則 β可由 α,α,……,α線性表示 ,且表示是唯一的。