定義
若干個同維數的行向量(或同維數的列向量)所組成的集合叫做 向量組。
線性表出
線性表出
線性表出對n維向量 和 ，如果存在實數 ，使得
線性表出 線性表出 線性表出 線性表出 線性表出稱向量 是向量 的 線性組合，或者說向量 可由 線性表出(示)。
線性表出
線性表出
線性表出
線性表出
線性表出 線性表出 線性表出設有兩個n維向量組 ；如果 中每個向量 都可由 中的向量 線性表出，則稱向量組 可由向量組 線性表出。
線性表出 線性表出如果 、 這兩個向量組可以互相線性表出，則稱這兩個 向量組等價。
註：(1)等價向量組具有傳逆性、對稱性、反身性；
(2)向量組和它的極大線性無關組是等價向量組；
(3)向量組的任意兩個極大線性無關組是等價向量組；
(4)等價的向量組有相同的秩。但秩相等的向量組不一定等價。
例題解析
線性表出
線性表出 線性表出
線性表出例1 已知 ,試問當a，b取何值時 可以由 線性表示，並寫出其表達式。
線性表出解： 設 ，按分量寫出，即有
線性表出
線性表出對增廣矩陣 作初等行變換，有
線性表出
線性表出 線性表出 線性表出如果b≠4，方程組無解， 不能由 線性表出。
線性表出 線性表出 線性表出如果b=4，秩 方程組有解， 可由 線性表出。
線性表出
線性表出（1）當 時，
線性表出
線性表出方程組有唯一解： ,即。
線性表出
線性表出（2）當 時，
線性表出
線性表出方程組有無窮多解： ,即，t為任意實數。
線性表出例2 設有向量組(1)： ；
線性表出(2)： 。
試問：當a為何值時，向量組(1)與(2)等價？當a為何值時，向量組(1)與(2)不等價？
分析: 所謂向量組(1)與(2)等價，即向量組(1)與(2)可以互相線性表出，如果方程組
線性表出 線性表出 線性表出有解，則 可以由 線性表出。
那么，如果對同一個a，三個方程組
線性表出
線性表出
線性表出均有解，則說明向量組(2)可以由向量組(1)線性表出
線性表出解： 對 作初等行變換，有
線性表出
線性表出
線性表出
線性表出 線性表出
線性表出 線性表出
線性表出 線性表出 線性表出那么，由方程組 知，只要方程組總有唯一解，即時，必可由線性表出，而時，方程組無解，不能由線性表出。
線性表出
線性表出
線性表出 線性表出由方程組知，方程組總有解，即必可由線性表出。
線性表出 線性表出
線性表出 線性表出由方程組知，只要，方程組就有解，就可由線性表出，
線性表出因此，當時，向量組(2)可由向量組(1)線性表出。
反之，由於行列式
線性表出 線性表出
線性表出 線性表出 線性表出故，三個方程組恆有解，即，向量組(1)總可由向量組(2)線性表出，因此，時向量組(1)與(2)等價。
線性表出 線性表出 線性表出而時，不能由線性表出，向量組(1)與(2)不等價。
評註： 若未知向量的坐標而要判斷能否線性表出的問題，通常是轉換為非齊次線性方程組是否有解的討論，如果向量的坐標沒有給出而問能否線性表出，通常用線性相關及秩的理論分析、推理。
