線性時不變系統理論:線性非時變系統理論俗稱LTI系統理論，源自套用數學， -百科知識中文網

簡介

線性非時變系統必須同時滿足線性和非時變性：

線性，指系統的輸入和輸出之間的關係是一個線性映射：如果輸入產生回響，而輸入產生回響，那么放縮和加和輸入產生放縮、加和的回響，其中和為實標量。此性質可以拓展到任意項，於是對於實數，輸入

產生輸出

特別地，輸入

產生輸出

其中，和是標量，而輸入在序號為的連續統內變化。因此，如果輸入函式可以由一個連續統的輸入函式像上面展示的那樣，“線性”組合而成，則對應的輸出函式，可以通過相應連續統的輸出函式以相同的方式縮放和求和得到。

時不變性，指如果將系統的輸入信號延遲秒，那么得到的輸出除了這秒延時以外是完全相同的，稱這樣的系統是“時不變”的。即若系統輸入，對應的輸出為，則輸入為時系統的輸出為。

LTI系統的理論的基本結論是任何LTI系統都可以完全用一個單一方程來表示，稱為系統的衝激回響。系統的輸出可以簡單表示為輸入信號與系統的衝激回響的卷積。這種分析方法通常稱為時域觀點。相同的結果對於離散時間線性移位不變系統也成立，其中信號為離散時間取樣信號，並且卷積對序列定義。

同理，任何LTI系統的特徵可由頻域的系統傳遞函式刻畫，它是系統衝激回響的拉普拉斯變換（在離散時間系統的情況下為Z變換）。由於這些變換的性質，該系統在頻域的輸出是傳遞函式與輸入的變換的乘積。換句話說，時域中的卷積相當於頻域中的乘法。

對於所有的LTI系統中，本徵函式和所用變換的基函式，是復指數函式。這即是說，如果一個系統的輸入是復波形，復振幅為，復頻率為，輸出將是輸入的復常數倍，表示為新復振幅的式子。比值是頻率的傳遞函式。

因為是正弦的復指數與復共軛頻率的總和，如果輸入到該系統是一個正弦波，則系統的輸出也將是一個正弦波，或許具有不同振幅和不同相位的，但總是與相同的頻率在達到穩定狀態。LTI系統不能產生頻率成分中沒有的輸入。

LTI系統理論善於描述了許多重要的系統。至少相對於時間變化的和/或非線性的情況下最LTI系統被認為是“容易”來分析。任何可以被模擬為常係數線性齊次微分方程系統是LTI系統。這類系統的實例是電路由電阻器S，電感s和電容器S（RLC電路）的。理想的彈簧 - 質量 - 阻尼系統也是LTI系統，並且在數學上是等效的RLC電路。

最LTI系統概念都是連續時間和離散時間（線性移位不變）的情況下相似。在圖像處理中，時間變數被替換為2空間變數，時間不變性的概念被替換為二維移不變性。當分析濾波器組s和MIMO系統中，常常是有用考慮的信號矢量。

線性系統不是時不變可以用其他方法來解決，如格林函式方法。同樣的方法時，必須使用問題的初始條件是不為空。