線匯論

線匯論

正文

三維歐氏空間由二參變數(u，v)定義的具有二個自由度的直線全體｛l(u,v)｝稱為直線匯或簡稱線匯, 各直線稱為光線。這方面理論發端於1828、1830年W.R.哈密頓的研究。1860年E.E.庫默爾仿效曲面論的方法取定一個參考曲面,使每條光線l(u,v)和它相交於點x(u,v)，而且採用l(u,v)的單位向量n( u,v)以代替曲面的法線，於此，他作出dn2和dxdn這二個二次微分形式，並按照同曲面論一樣的步驟展開了線匯的系統的論述，從而基本上獲得了線匯的重要元素。但是，在參考曲面的選擇上存在著不惟一性的缺點,所以,G.桑尼亞(1908)對此加以改善，保留E.E.庫默爾的第一基本形式

而重新作出新形式，用以取代第二基本形式，這裡dσ和dr分別表示線匯的二鄰近光線l(u,v)，l┡(u+du,v+dv)間的交角和最短距離，這樣，線匯論基本定理就如同曲面論中一樣，被完備無缺地建立起來了。
在討論線匯論的方法中，特別要提出的是W.J.E.布拉什克利用E.施圖迪的推移原理和W.K.克利福德的對偶數而作成的創建。下面將簡述“對偶點”與桑尼亞基本形式間的關係。
對偶數與直線坐標　按照E.斯圖迪的理論說來，直線幾何是可以移到作為二維球面上的幾何而對之進行研究的。為此，將運用被稱為“對偶數”的數系。普通的複數有兩個單位1，i,其中i2=-1,而且一般形式是α+ib)，式中α，b都是實數。對偶數的一般形式則是α+εb，其中新單位ε 滿足關係式ε2=0。對偶數滿足乘法交換律，但是因子定理則不成立。換言之，二對偶數的積等於零時，各因子可以不是零。例如，設α·b≠0，εα·εb=0就是例子。可以普通複數的方法定義對偶數的正則函式。比如：從

得出

cos(α +εβ)=cos α-εβ sin α 。
設一直線l是由其上二點p(x)和圴(塣)決定的。這裡x表示p的位置向量，等等。令

，

式中ρ≠0是待定的實數,“×”表示向量積,這二向量的六個分量恰恰代表直線l的普呂克坐標,它們必須滿足恆等式(X，)=0。現在選取ρ使得X2=1，那么X表示直線l的單位向量。
根據斯圖迪理論導入一個“對偶向量”：ξ＝X+ε塣，使之和直線l一一對應,從上述關係立即得出ξ2=1。所以(ξ)表示單位球上的一個“對偶點”,這樣，三維空間的直線被表示為單位球上的對偶點。
對偶點與桑尼亞基本形式　設一個線匯的光線l(u,v)所對應的對偶點為,那么在單位球上所作的“對偶線素”dξ2,是在對偶旋轉下的不變形式，而且實際上，它的實部分和對偶部分恰恰分別是桑尼亞的第一和第二基本形式。

。

一個曲面的所有法線構成的線匯稱為法線匯，它有如下的重要性質，被稱為幾何光學的基本定理，即
馬呂斯－迪潘定理　任意法線匯的光線經有限回關於曲面的反射或屈射後，仍然保持其為法線匯的性質。
也可以用仿射和射影的觀點來研究線匯。
參考書目
　蘇步青著：《微分幾何學》，正中書局，重慶，1948。
　W.Blaschke,Vorlesungen ╇ber Differentiαl Geometrie,Aufl.3,Bd.1,Verlag von Julius Springer，Berlin, 1923.

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