概念
垂足曲面(pedal surface)是曲面的一種類型。亦稱菲涅耳彈性曲面。從橢球面：
垂足曲面的中心到它的切平面作垂線，垂足的軌跡是四次曲面(x +y +z ) =a x +b y +c z 。該曲面稱為菲涅耳彈性曲面或垂足曲面。菲涅耳(Fresnel，A.J.)在研究光波衍射的規律時所建立的波動曲面理論中給出了垂足曲面的概念。
曲面
微分幾何研究的主要對象之一。直觀上，曲面可以看作是空間具有二個自由度的點的軌跡。數學中通常稱曲面是二維拓撲流形，即滿足於第二可數公理，且各領域與歐幾里得平面的圓的內部同胚的拓撲空間。約公元前300年歐幾里得在《幾何原本》中給出面的定義：面只有長度和寬度，面的邊緣是線。這是對面的最早說明。但同線的概念一樣，“長度”、“寬度”等都還沒有定義，因此是不完全的定義。古希臘流傳下來的樸素概念認為曲線移動可以形成曲面，或立體的表面是曲面等。也有人稱不是平面的面為曲面，但在現代數學中曲面有包含平面的意義。
最早研究曲面性質的是古希臘科學家阿基米德，他得到旋轉拋物面的一些有趣性質。系統的曲面理論的研究始於17世紀末，最先討論的是曲面上的測地線。1697年約翰·伯努利提出一凸曲面上求兩點間的最短弧問題，第二年雅各布·伯努利解決了柱面、錐面和旋轉曲面上的測地線問題。1728年歐拉給出曲面上測地線的微分方程，1760年又在《關於曲面上曲線的研究》中建立了曲面的理論，1771年發表《論表面可以展平的立體》中首次討論了可展曲面。他的工作由法國數學家蒙日等人進行了發展。蒙日在1802年發表的《代數在幾何中的套用》一文中證明了二次曲面的每一個平面截口是一條二次曲線，還證明了單葉雙曲面和雙曲拋物面是直紋曲面。19世紀射影幾何復興，曲面理論隨之發展。1832年瑞士數學家施泰納利用射影原理造出直紋二次曲面，後來英國數學家凱萊(1849)、德國數學家庫默爾(1864)先後給出三次和四次曲面的特別例子。
1827年高斯發表《關於曲面的一般研究》，奠定了曲面論的基礎。他研究了曲面的曲率，提出曲面作為一個空間的概念，使曲面的幾何可以集中在曲面本身上進行研究。這種思想由黎曼繼承並發展，推廣到任何空間，其中關於任意n維流形的曲率概念就是高斯關於曲面的總曲率概念的推廣。以後匈牙利數學家拉多給出黎曼曲面的一種精確定義，1925年證明了曲面一般可進行單形剖分，從而可與二維多面體同胚的結論。在曲面的整體性質方面，德國數學家麥比烏斯最早發現單側曲面，將長方形的邊扭成180°後與對邊粘合得到的麥比烏斯帶是不可定向曲面中最著名的例證。曲面理論的進一步結果體現在微分幾何學與拓撲學等學科中，其研究方興未艾。
微分幾何
用分析方法研究空間幾何性質的數學分支。在古典意義下，微分幾何學研究三維歐幾里得空間中的曲線和曲面在一點鄰近的性質，其發展與分析學和解析幾何學的發展不可分割。它起源於17世紀發現微積分之時，函式與函式的導數概念實質上等同於曲線與曲線的斜率，函式積分在幾何上解釋為一曲線下的面積。牛頓、萊布尼茨對此做了奠基性的工作。法國數學家費馬還較早地研究了光滑平面曲線作切線的方法，成為微積分的先驅之一。曲線的法線、拐點、曲率、曲率圓、漸屈線、包絡線等平面曲線的微分幾何都作為微積分的一部分發展起來，其中荷蘭數學家惠更斯的漸屈線研究(1673)、牛頓的曲率中心概念的引入(1671)、約翰·伯努利的包絡研究成果(1691)頗具代表性。1696年法國數學家洛必達的《闡明曲線的無窮小分析》出版，幫助完成並傳播了平面曲線的理論。1731年法國數學家克萊羅開創空間曲線理論，稱之為“雙曲率曲線”，研究了空間曲線的切線、弧長表達式等問題。1736年歐拉首先引進平面曲線的內在坐標概念，即以曲線弧長作為曲線上點的坐標，開始曲線的內在幾何研究。1745年歐拉出版《無窮分析引論》，介紹了平面和空間圖形的微分幾何。他將曲率描述為曲線的切線方向和一固定方向的交角相對於弧長的變化率，引進曲面上的法曲率、總曲率、法曲率的歐拉公式及球面映射等。他還於1775年給出關於扭曲線理論的完整論述，並與約翰·伯努利、丹尼爾·伯努利一起探討測地線，將測地線描述為某些微分方程的解。1760年歐拉在《關於曲面上曲線的研究》中建立了曲面理論，得到歐拉定理等結果，成為微分幾何發展的里程碑。後來蒙日不僅創立了畫法幾何學，還於1807年出版了關於曲線和曲面的第一部獨立的著作《分析學在幾何中的套用》。他還獨立研究了可展曲面的課題，將同一個問題分別置於幾何和分析領域進行討論，並肯定了這樣做的好處，振興了綜合幾何學。蒙日的學生迪潘在《幾何學的發展》(1813)中論述了曲面上的共軛漸近線和迪潘指標線，在《幾何學和力學的套用》中推廣了蒙日的線匯結果。19世紀中期，弗雷內得出曲線的基本微分方程，被稱為弗雷內公式。1887—1898年達布創造空間曲線的活動標架概念，詳細討論了曲面理論和曲線坐標，從而完整地建立起曲線理論。
整體微分幾何興起於20世紀初。德國數學家霍普夫約於1925年起對黎曼空間的微分幾何結構與拓撲結構的關係進行研究，後來比利時數學家德·拉姆和英國數學家霍奇對流形上局部性質與整體性質的聯繫進行了研究，建立了流形上微分結構、拓撲結構及黎曼結構的深刻制約關係。在研究黎曼流形的曲率與拓撲結構之間的聯繫方面，美國數學家艾倫多弗和法國數學家韋伊與中國—美國數學家陳省身用不同方法將緊緻曲面上的高斯一博內公式擴充到高維曲面和緊緻黎曼流形上去。陳省身等人還在纖維叢理論中做出突出貢獻。法國數學家阿達馬和E.嘉當發現單連通的、曲率非正的完備黎曼流形必同胚於歐氏空間Rn，這些都是極富啟發性的成果。另外，嵌入問題也引起數學家們的興趣。美國數學家惠特尼於1936年證明了微分流形的嵌入定理，指出每一個n維的微分流形可以嵌入到一個2n+1維的歐氏空間。另一英國數學家莫利證明了對緊緻的實解析流形這個結果也成立。到20世紀50年代，黎曼流形的整體等距嵌入問題也已解決，並對非線性分析和非線性偏微分方程的求解產生重要影響。
現在微分流形是在微分幾何與拓撲學兩者的觀點下發展起來的重要課題，因此，微分幾何學可看作是給定二次微分形式、復結構、聯絡等特殊結構的微分流形的理論，包括中國學者在內的一大批數學家正致力於這方面的研究工作。
人物簡介
菲涅耳是法國物理學家。1788年5月10日生於法國諾曼第布羅利耶城。在當建築師的父親影響下。他中國小時代的學習成績一直很出眾。1806年，菲涅耳在巴黎工藝學校畢業。1809又畢業於巴黎橋樑與公路學校，並獲得土木工程師的文憑。此後，長期在法國政府的某些機構中擔任工程師。他利用業餘時間對光學進行了卓有成效的研究，取得許多科研成果。1823年，法國科學院授予他院士稱號。1825年被英國皇家學會選為會員，並在兩年後被授予倫福德獎章。1827年7月 14日因患肺病醫治無效逝世，年僅39歲。
菲涅耳是從1814年開始研究光學的，他從自己微薄的經濟收入中擠出一部分錢來購買供實驗用的儀器和設備，研究條件十分艱難，但是他勤奮努力，刻苦鑽研，取得了很大成就。他提出了新的惠更斯原理，即惠更斯-菲涅耳原理，完善了光的衍射理論。當 1818年法國科學院懸賞解決衍射問題時，由於菲涅耳在1816年發表的論文就對衍射問題作出了重要的理論論證並有嚴格實驗根據，因此這項獎金終於被菲涅耳所獲得。菲涅耳在衍射方面有許多貢獻，波動光學中以他姓氏命名的實驗和概念有： 菲涅耳圓孔衍射、菲涅耳圓盤衍射、菲涅耳單狹縫衍射、菲涅耳半波帶和菲涅耳波帶片等。菲涅耳另一個重大貢獻是光偏振方面的研究成果。1821年通過偏振對干涉影響的實驗肯定了光波是橫波。1822年首次發現了圓偏振光和橢圓偏振光，並用波動說解釋了偏振面的轉動現象。1823年確立了光在反射與折射時的定量定律，即著名的菲涅耳定律。並由此解釋了光在反射時發生的偏振現象以及全反射時發生的橢圓偏振現象。他的雙折射理論也取得了成功，為晶體光學的建立奠定了基礎。菲涅耳提出的地球因運動而部分曳引以太的觀點曾產生過很大的影響，他導出了光在相對以太參考系運動的透明物體中的速度公式，即菲涅耳運動介質光速公式。此式為法國物理學家菲佐1851年用實驗所證實。菲涅耳還設計過一種階梯多級透鏡系統來改進燈塔的照明，為海運事業的發展作出了重要貢獻。
