筭數書

《筭數書》是一部數學問題集。全書有近七十個題名。題名有的以計算方法命名，如“相乘”、“分乘”、“約分”、“合分”、“徑分”等；也有的以該題正文中的主題詞命名，如“共買材”、“狐出關”、“息錢”、“飲漆”、“稅田”、“賈鹽”、“粟求米”、“負炭”、“分錢”、“方田”、“囷蓋”、“以圜材方”、“以方材圜”、“里田”等。該書依“題——答——術”的體例編寫。

筭數書出土

1983年12月，考古人員從湖北江陵張家山247號漢墓發掘出一批竹簡，隨後從中整理出一部不見於著錄、早已失傳的古代數學專著——《筭數書》。
與《筭數書》同時整理出來的古代文獻還有《二年律令》《奏讞書》《蓋廬》《脈書》《引書》“歷譜”等。“歷譜”所記最後一年是西漢呂后二年，即公元前186年，估計墓主死亡不會距此太遠。所以，考古人員認定《筭數書》成書年代的下限是西漢呂后二年，實際成書時間應當早於此年，可能是秦代或先秦的著作。

社會對筭數書的關注

《筭數書》的出土，引起國際數學史界的注意。2002年8月15日至18日在西安舉行的數學史國際會議上，來自美國的數學史專家道本（JosephW.Dauben）做了“關於《筭數書》的初步研究”的報告，美國加州大學聖迭戈分校的美籍華人科學史專家程貞一做了“《筭數書》和盈不足方法”的報告，中國的幾位學者也做了有關《筭數書》的研究報告。《筭數書》的研究成為這次大會的一個討論熱點。

筭數書的編寫體例

該書以“題——答——術”的體例編寫。“題”，指命題，即數學問題；“答”，指解答，即對例題的解答；“術”，指由例題的解答歸納出該類問題的一般算法。全書按照內容可以分為兩類：
一類是整數和分數的四則運算法則；
另一類是跟當時生產、生活實際密切相關的各種套用題及解法。如“羽矢”是有關造箭的套用題、“鏇粟”是有關農業估產的套用題、“息錢”是有關借貸的套用題。依現代數學分類法，這些套用題有的屬於算術問題，有的屬於幾何問題。考古人員認為，《筭數書》可能是秦漢官吏，尤其是負責經濟管理工作的官吏學習數學知識的課本和工具書。

筭數書涉及的算術知識

《筭數書》涉及的算術知識包括整數、分數、比例、盈不足等問題。書中沒有完整地敘述整數的運算，只是專門提出了整數的進位，“一乘十，十也；一乘十萬，十萬也；十乘十萬，百萬。十乘千，萬也；十乘萬，十萬也；十乘十萬，百萬；十乘百萬，千萬。百乘萬，百萬；千乘萬，千萬。半乘百，五十；半乘千，五百；半乘萬，五千。”其間各數全都是十進位制。十進位值制記數法簡捷、明快、實用，運算方便。馬克思稱之為人類“最美妙的發明之一”。中國是世界上最早使用“十進位值制”記數法的國家。古代埃及採用的是“十進累計制”記數法；古巴比倫採用的是“六十進位值制”記數法；印度雖然採用的是“十進位值制”記數法，但已到了了公元6世紀。“十進位值制”記數法是中國對世界數學的卓越貢獻。商周的甲骨文和鐘鼎文中已有了系統的個位、十位、百位乃至萬位的自然數數字，大於十的自然數都用十進位制。從殷商到戰國時期，整數的加減乘除應當是很普通的算術知識，所以《筭數書》中不必再敘述了。但在“里田”的標題下，該書提出了以平方里為單位面積的土地折合成頃畝的整數簡便運算方法。按照一般算法，求一平方里所合頃畝數，須先將一里化作300步，然後相乘，得若干平方步，再除以240平方步，得到畝數，計算很複雜。“里田術”提出兩種解法，其一是：“里乘里，里也；廣從（縱）各一里，即直一，因而三之，有（又）三五之，即為田三頃七十五畝。”用算式表示為：
1里×1里=1平方里 （里乘里，里也。）
1平方里×3=3 （即直一，因而三之。）
3×5×5×5=375畝 （有（又）三五之。）
=3頃75畝
其二是：以第一種解法的結果為基礎，即一平方里等於3頃75畝，根據乘法分配律，與任何數值的平方里相乘即得頃畝數。這種“里田術”應當是秦漢管理賦稅的官吏必須掌握的算術知識。

筭數書內容簡介

《筭數書》全面介紹了分數的性質和運算法則，包括通分、約分、分數的括大、縮小及四則運算。有關比例的計算題約占全書內容的一半，有正比例、反比例，分配比例、連比例、複比例，包含了現代數學全部的比例類型。《筭數書》中還有三道盈不足的問題。典型例題是“分錢”，“分錢人二而多三，人三而少二，問幾何人，錢幾何？得曰：五人，錢十三。術曰：嬴（盈）不足五乘母，並之為實，子相從為法。皆贏若不足，子互乘母而各異直之，以子少者除子多者，余為法，以不足為實。”其解法為：（1）根據題目所給條件列成2/3，3/2；（2）分子部分各是盈，不足之數。它們交叉相乘得4和9。（3）以4+9作被除數，以分子2+3作除數，得13/5，此為每人分得錢數。（4）按“置所出率，以少減多，余，以約法，實”，即3－2=1，故得錢數13，人數5。通過兩次假設——盈和不足，使不能用算術方法直接求解的問題獲得解答。

筭數書涉及的幾何知識

《筭數書》涉及的幾何知識包括面積和體積兩個方面的問題。面積有9個題名，其中6個題名是有關土地面積計算的。它們是“里田”、“少廣”、“啟廣”、“啟從（縱）”、“大廣”和“方田”。另外，“繒幅”，涉及面積求法；“以睘（圜）材方”和“以方材睘（圜）”是介紹圓與內接正方形與內切圓之間關係的問題。體積有6個題名。它們是“除”、“鄆都”、“芻”、“鏇粟”、“囷蓋”和“睘（圜）亭”。它們介紹了正圓錐體、圓台體、楔形體、上、下底為矩形的長方台體等六種形狀幾何體體積的求解方法。這些知識應當跟戰國時期築城、挖壕、建倉和造房等工程的興建、維修計算工作量併合理分配勞動力有關係。

相關認識

《筭數書》比傳世的《九章算術》成書年代約早200年。它的出土，使我們了解到公元前2世紀，甚至更早一些時候，中國數學發展的水平和數學專著的編纂水平，形成以下幾點認識：

認識一

第一，《筭數書》記錄了當時世界上最先進的分數四則運算和比例算法。科學的分數概念和運算法則，是中國古代數學家建立起來的。古埃及人曾有比較完整的分數形式，但由於太繁複，不便於運算。這就影響了古埃及算術的發展，後來也給希臘數學的發展設定了障礙。在希臘數學中缺乏分數約分和通分的法則，分數四則運算則更在其後。公元7世紀，系統的分數概念和運算法則才在印度流行，而歐洲還要遲得多。

認識二

第二，盈不足術在中國出現的時間不會晚於公元前2世紀。在阿拉伯和歐洲早期的數學著作中，它被稱為“契丹算法”。“契丹”是當時西方和阿拉伯人對中國的稱呼。由此可見，盈不足術是中國古代數學家的獨創。公元9世紀阿拉伯數學家花剌子密提出雙假設法比中國古代數學家的盈不足術要晚一千多年。中國的盈不足術是以比率理論為依據導出的一種算法化的演算程式。它給不明算理的人提供了可按程式操作的套用方法，把算術套用推到頂峯。

認識三

第三，《筭數書》中的題名“除”，即羨除。依魏晉之際傑出數學家劉徽的解釋：羨除，“實為隧道也。”按例題所述是楔形體，其體積求解公式是中國古代數學家的首創。

認識四

第四，《筭數書》採用“題——答——術”的編纂體例具有注重實用，著眼發展，便於普及的優點。例題提出的數學問題來源於社會實踐，伴隨著社會實踐的發展，可以不斷收納新的問題，推動數學發展。例如從春秋戰國時期起，漆器逐漸興起，到秦漢時期終於取代了青銅器。生產漆器對生漆的需要量不斷加大。而漆樹只能生長在黃河中游的部分地區和長江流域的部分地區，產量很有限。為了保證生漆的供應，政府在生漆產地設立漆園，派專門官吏管理。生漆要飲水，飲水的多少決定生漆的質量。法律規定，徵收生漆要到官府試水、飲水。管理者必須掌握飲水的計算方法。《筭數書》中“飲漆”，就是這種測試生漆質量的計算方法。它納入《筭數書》肯定比“方田”要晚。在解決問題的方法上，由具體事例入手，然後歸納出同類問題的一般解決辦法，即“答”後面的“術”。從全書的體例結構看，它是一種開放的歸納體系。這種編纂體例直接影響著《九章算術》，並成為中國古代數學著作的傳統。