![等於[數學用語]](/img/a/054/nBnauM3X2ITO0YjN0EDO0ETN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxgzL0AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg "等於[數學用語]")
概述
數學上，兩個數學對象是 相等的，若他們在各個方面都相同。這就定義了一個二元謂詞 等於，寫作“=”； x = y 若且唯若 x 和 y 相等。通常意義上，等於是通過兩個元素間的等價關係來構造的。將兩個表達式用等於符號連起來，就構成了 等式。
注意，有些時候“A = B”並不表示等式。例如， T（ n）= O( n)表示在數量級 n上漸進。因為這裡的符號“=”不滿足若且唯若的定義，所以它不等於等於符號；實際上，O( n) = T（ n）是沒有意義的。請參見大O符號了解這部分內容。
集合 A 上的等於關係是種二元關係，滿足自反性，對稱性，反對稱性和傳遞性。 去掉對反對稱性的要求，就是等價關係。 相應的，給定集合A上的任意等價關係 R，可以構造商集 A/ R，並且這個等價關係將‘下降為’ A/ R 上的等於。
在任何條件下都成立的等式稱為恆等式，包含未知數的等式稱為方程式。
基本性質
替代性：
對任意量 a和 b和任意表達式 F（ x），若 a= b，則 F（ a）= F（ b）（設等式兩邊都有意義）。
在一階邏輯中，不能量化像 F這樣的表達式（它可能是個函式謂詞）。
一些例子：
•對任意實數a，b，c，若a=b，則a+c=b+c（這裡F（x）為x+c）；
•對任意實數a，b，c，若a=b，則a-c=b-c（這裡F（x）為x-c）；
•對任意實數a，b，c，若a=b，則a'c=b'c（這裡F（x）為x'c）；
•對任意實數a，b，c，若a=b且c不為零，則a/c=b/c（這裡F（x）為x/c）；
自反性：
對任意量 a， a= a。
這個性質通常在數學證明中作為中間步驟。
對稱性：
對任意量 a和 b，若 a= b，則 b= a。
傳遞性：
對任意量 a， b， c，若 a= b且 b= c，則 a= c。
實數或其他對象上的二元關係“約等於”，即使進行精確定義，也不具有傳遞性（即使看上去有，但許多小的差別能夠疊加成非常大的差別）。
儘管對稱性和傳遞性通常看上去是基本性質，但它們能夠通過替代性和自反性證明得到。
邏輯形式
謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理，從而形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在17世紀提出來的。 萊布尼茨的想法是，兩樣物體是同一的，若且唯若它們有完全相同的性質。 形式化這一說法，可以寫成
對任意x 和y，x = y 若且唯若對任意謂詞P，P（x）若且唯若P（y）。
然而，在一階邏輯中，不能對謂詞進行量化。因此，需要使用下述公理：
對任意x 和y，若x 等於y，則P（x）若且唯若P（y）。
這條公理對任意單變數的謂詞 P 都有效，但只定義了萊布尼茨律的一個方向：若 x 和 y 相等，則它們具有相同的性質。 可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向：
對任意x，x 等於x。
則若 x 和 y 具有相同的性質，則特定的它們關於謂詞 P 是相同的。這裡謂詞 P 為： P（ z）若且唯若 x = z。 由於 P（ x）成立， P（ y）必定也成立（相同的性質），所以 x = y（ P 的變數為 y）.
符號的歷史
“ 等於”符號或 “ =”被用來表示一些算術運算的結果，是由Robert Recorde在1557年發明的。
由於覺得書寫文字過於麻煩，Recorde在他的作品 The Whetstone of Witte 中採用了這一符號。原因是符號中的兩條線一樣長，表明其連線的兩個量也相等。這一發明在威爾斯的St Mary教堂有記錄。
約等於的符號是≈或 ≒，不等於的符號是≠。
表示相等關係的符號。相等是數學中最重要的關係之一，所以數學中很早就出現了表示相等的符號。古希臘數學家丟番圖(Diophantus)用“l”(有時用“ч”)表示相等，古印度人有用相當於pha的字母表示相等.近代的德國數學家雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，J.)、義大利數學家帕喬利(Pacioli，L.)等人用破折號“——”表示相等.現代用的等號“=”稱為雷科德符號(Recorde's sign)，是英國數學家雷科德(Recorde，R.)在1557年出版的一本書《開端》(Début)中第一次作為等號使用的，但其推廣十分緩慢。後來，著名學者如德國數學家、天文學家克卜勒(Kepler，J.)、義大利數學家、物理學家伽利略(Galilei，G.)、法國數學家費馬(Fermat，P.de)等人一直用文字或縮寫語aequals，ae等表示相等。法國數學家笛卡兒(Descartes，R.)於1637年還用“=”表示現代“±”號的意義，而用“∝”作等號.直到17世紀末，以“=”作等號才逐漸通用。
