簡介
等周定理，又稱 等周不等式，是一個幾何中的不等式定理，說明了歐幾里得平面上的封閉圖形的周長以及其面積之間的關係。其中的“等周”指的是周界的長度相等。等周定理說明在周界長度相等的封閉幾何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個說法是面積相等的幾何形狀之中，以圓形的周界長度最小。這兩種說法是等價的。
雖然等周定理的結論早已為人所知，但要嚴格的證明這一點並不容易。首個嚴謹的數學證明直到19世紀才出現。之後，數學家們陸續給出了不同的證明，其中有不少是非常簡單的。等周問題有許多不同的推廣，例如在各種曲面而不是平面上的等周問題，以及在高維的空間中給定的“表面”或區域的最大“邊界長度”問題等。
在物理中，等周問題和跟所謂的最小作用量原理有關。一個直觀的表現就是水珠的形狀。在沒有外力的情況下（例如失重的太空艙里），水珠的形狀是完全對稱的球體。這是因為當水珠體積一定時，表面張力會迫使水珠的表面積達到最小值。根據等周定理，最小值是在水珠形狀為球狀時達到。
歷史
平面上的等周問題是等周問題最經典的形式，它的出現可以追溯到很早以前。這個問題可以被表述為：在平面上所有周長一定的封閉曲線中，是否有一個圍成的面積最大？如果有的話，是什麼形狀？另一種等價的表述是：當平面上的封閉曲線圍成的面積一定時，怎樣的曲線周長最小？
雖然圓看似是問題的表面答案，但證明此事實其實不易。首個接近答案的步驟出現在1838年——雅各·史坦納以幾何方法證明若答案存在，答案必然是圓形。不久之後他的證明被其他數學家完善。
其方法包括證明了不完全凸的封閉曲線的話，能以“翻折”凹的部分以成為凸的圖形，以增加面積；不完全對稱的封閉曲線能以傾斜來取得更多的面積。圓，是完全凸和對稱的形狀。可是這些並不足以作為等周定理的 嚴格證明。
1901年，赫爾維茨憑傅立葉級數和格林定理給出一個純解析的證明。
最小作用量原理
物理學中 最小作用量原理（英語： least action principle），或更精確地， 平穩作用量原理（英語： stationary action principle），是一種變分原理，當套用於一個機械系統的作用量時，可以得到此機械系統的運動方程。這原理的研究引導出經典力學的拉格朗日表述和哈密頓表述的發展。卡爾·雅可比特稱最小作用量原理為分析力學之母。
在現代物理學裡，這原理非常重要，在相對論、量子力學、量子場論里，都有廣泛的用途。在現代數學裡，這原理是莫爾斯理論的研究焦點。本篇文章主要是在闡述最小作用量原理的歷史發展。關於數學描述、推導和實用方法，請參閱條目作用量。最小作用量原理有很多種例子，主要的例子是莫佩爾蒂原理（Maupertuis' principle）和哈密頓原理。
在最小作用量原理之前，有很多類似的點子出現於測量學和光學。古埃及的拉繩測量者（rope stretcher）在測量兩點之間的距離時，會將固定於這兩點的繩索拉緊，這樣，可以使間隔距離減少至最低值。托勒密在他的著作《地理學指南》（ Geographia）第一冊第二章里強調，測量者必須對於直線路線的誤差做出適當的修正。古希臘數學家歐幾里得在《反射光學》（ Catoptrica）里表明，將光線照射於鏡子，則光線的反射路徑的入射角等於反射角。稍後，亞歷山大的希羅證明這路徑的長度是最短的。
