伽利略定理

伽利略定理(Galilei theorem)是著名的圓面積等分定理，若OA為⊙O的半徑，點M，N為OA的三等分點，以OA為直徑作半圓，且過點M，N作OA之垂線交半圓於點P，Q，則以O為圓心，OP，OQ為半徑之圓，必將最初的圓面積三等分，此定理由伽利略(G.Galilei)提出 。

定理介紹

定理1 以⊙O(R)的半徑OA為直徑作半圓，三等分OA於B、C，自B、C引OA的垂線交所作半圓於D、E(圖1)，則以O為圓心，各過D和E點的兩圓周必三等分原圓⊙O(R)的面積 。

圖1

定理2 甲乙兩多邊形彼此相似，假設甲形外切於某圓，乙形和某圓等周，則某圓的面積是甲乙兩形面積的比例中項。

定理1和定理2均稱 伽利略定理，伽利略(Galilleo，1564-1642年)是十七世紀初葉義大利著名的物理學家和天文學家 。

定理的證明

定理1的證明：

證明 連結OD和OE，則有

伽利略定理

所以 ⊙O(OD)的面積

伽利略定理

的面積，

⊙O(OE)的面積

伽利略定理

的面積，

因此所作兩圓⊙O(OD)和⊙O(OE)恰好三等分原圓⊙O(R)的面積 。

定理2的證明：

證明 設甲形外切於⊙O(R)，其半周為p，則其面積為:

伽利略定理

乙形既和甲形相似(已知)，故也有內切圓⊙O'(R'。又乙形和⊙O(R)等周(已知)，可見乙形的半周為：

伽利略定理

從而乙形的面積為：

伽利略定理

於是

伽利略定理

另一方面，由於甲乙兩形相似，有

伽利略定理

那么

伽利略定理

所以

伽利略定理

則定理得證 。