等價範數

等價範數

等價範數(equivalence of norms)是同一個線性空間上的兩個範數之間的一種關係。有限維空間上的任何兩個範數必是等價的,且具有相同維數的兩個有窮維線性賦范空間在代數上是同構的,在拓撲上是同胚的。Banach空間中的兩範數等價,則說明這兩個範數的Banach空間拓撲性質相同,特別是 B 空間中序列的收斂性、集合的有界性、線性運算元的有界性、以及一族運算元的一致有界,在從一個範數變化到另一個範數時,都是不變的。

預備知識

線性空間

設 X 是一個非空集,K 是復(或實)數域,如果滿足條件:

等價範數 等價範數
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(1)X 是一加法交換群,即對 ,記作 稱為 之和,適合

等價範數 等價範數

① ;

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② ;

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③ 存在唯一的 ,對 ;

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④ 對任意的 ,存在唯一的 ,使得 ,記作 為 ;

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(2)定義數域 K 中的數 與 的數乘運算,即 ,記作 稱為 對 的數乘,適合

等價範數 等價範數

① ;

等價範數 等價範數

② ;

等價範數 等價範數

③ ;

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④ ;

則稱 X 為一復(或實)線性空間。

線性空間範數

等價範數 等價範數

若線性空間 X 上的一個非負值函式 滿足:

等價範數 等價範數

(1)正定性: ;

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(2)三角不等式: ;

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(3)齊次性: ;

等價範數 等價範數

則稱 為線性空間 X 上的一個範數。

賦范線性空間

當賦準範數的線性空間中的準範數是範數時,稱該空間為賦范線性空間。

相關比較

等價範數 等價範數
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設線上性空間 X 上給定了兩個範數 和 ,若有 ,則稱 比 強。

等價範數 等價範數
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為了 比 強,必須且只需存在常數 C>0 ,使得 。

定義

在許多分析問題中,引進範數或引進距離是為了研究一種收斂性。因此,如果我們關心的只是按照一定意義的收斂性而不是距離本身的大小,那么在空間上我們就可以認為決定同一收斂性的不同範數是等價的。等價範數是同一個線性空間上的兩個範數之間的一種關係。

數學表示

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設線上性空間 X 上給定了兩個範數 和 ,如果 比 強,並且 比 強,則稱 和 等價。

等價的意義

Banach空間中的兩範數等價,則說明這兩個範數的Banach空間拓撲性質相同,特別是 B 空間中序列的收斂性、集合的有界性、線性運算元的有界性、以及一族運算元的一致有界,在從一個範數變化到另一個範數時,都是不變的。

因此,與在同一個集合 X 上可以定義不同的距離使 X 成為不同的度量空間一樣,在同一個線性空間 E 上,也可以定義不同的範數,使E構成不同的賦范線性空間。

基本結論

結論1

(等價範數定理)

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設線上性空間 X 上給定了兩個範數 和 ,若存在兩個常數 ,使得

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則有兩範數 和 等價。

結論2

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設 X 是一個有窮維線性空間,若 和 都是 X 上的範數,則必有常數 ,使得:

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該結論表明:具有相同維數的兩個有窮維線性賦范空間在代數上是同構的,在拓撲上是同胚的。

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